Sejam y1 e y2 duas soluções da seguinte equação diferencial de segunda ordem
a2(x) y^prime prime+a1 y^prime+a0(x) y=0
b) Deduza a fórmula de Abel*:
W=c e^-integral[a1(x) / a2(x)] d x
em que c é uma constante.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma EDO linear homogênea de segunda ordem dada por
a2(x),y''+a1(x),y'+a0(x),y=0,
queremos deduzir a fórmula de Abel que expressa o Wronskiano de duas soluções y1 e y2.

Passo 2

Definimos o Wronskiano de y1 e y2 como
W(x)=y1(x)&y2(x)y1'(x)&y2'(x)=y1y2'-y1'y2
Essa função mede a “independência” das soluções.

Passo 3

Para encontrar como W varia com x, calculamos sua derivada usando a regra do determinante:
W'=l(y1y2'-y1'y2r)'=y1y2''-y1''y2

Passo 4

Agora, usamos a própria EDO para eliminar y''. Para qualquer solução y vale
y''=-a1(x)a2(x),y'-a0(x)a2(x),y

Passo 5

Substituindo em W' temos
W'=y1l(-tfraca1a2,y2'-tfraca0a2,y2r)-l(-tfraca1a2,y1'-tfraca0a2,y1r)y2
Ao expandir, os termos com a0 se cancelam e sobra
W'=-a1(x)a2(x)l(y1y2'-y1'y2r)=-a1(x)a2(x),W

Passo 6

Chegamos a uma EDO de 1ª ordem para W:
W'W=-a1(x)a2(x)
Integrando ambos os lados em relação a x:
ln|W|=-integrala1(x)a2(x),dx+ln|c|,
onde c é constante de integração.]

Passo 7

Exponenciando, obtemos a fórmula de Abel:
W(x)=c,e^-integrala1(x)a2(x),dx

Resposta

W=c,e^{-\displaystyle\int\frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)},dx}

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