Sejam e duas soluções da seguinte equação diferencial de segunda ordem
b) Deduza a fórmula de Abel*:
em que é uma constante.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos uma EDO linear homogênea de segunda ordem dada por
queremos deduzir a fórmula de Abel que expressa o Wronskiano de duas soluções e .
Passo 2
Definimos o Wronskiano de e como
Essa função mede a “independência” das soluções.
Passo 3
Para encontrar como W varia com x, calculamos sua derivada usando a regra do determinante:
W'=l(y1y2'-y1'y2r)'=y1y2''-y1''y2
Passo 4
Agora, usamos a própria EDO para eliminar y''. Para qualquer solução y vale
y''=-a1(x)a2(x),y'-a0(x)a2(x),y
Passo 5
Substituindo em W' temos
W'=y1l(-tfraca1a2,y2'-tfraca0a2,y2r)-l(-tfraca1a2,y1'-tfraca0a2,y1r)y2
Ao expandir, os termos com a0 se cancelam e sobra W'=-a1(x)a2(x)l(y1y2'-y1'y2r)=-a1(x)a2(x),W
Passo 6
Chegamos a uma EDO de 1ª ordem para W:
W'W=-a1(x)a2(x)
Integrando ambos os lados em relação a x: ln|W|=-integrala1(x)a2(x),dx+ln|c|,