O peso médio dos alunos de uma escola é
, com desvio-padrão de 6,12 Kg , normalmente distribuído. Se são 850 os alunos desta escola: qual a probabilidade de um aluno sorteado pesar entre 55 Kg e 65 Kg ?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que o peso dos alunos segue uma distribuição normal com média μ = 57,45 kg e desvio-padrão σ = 6,12 kg. A pergunta é: “qual a probabilidade de um aluno sorteado pesar entre 55 kg e 65 kg?”
Conteúdo: Distribuição Normal e padronização (transformar X em Z).
O que vamos precisar:
• Entender a curva normal e a função de distribuição acumulada (Φ).
• Fazer a padronização: .
• Consultar (ou usar aproximação de) tabela da normal padrão para obter Φ(z).
Conteúdo: Distribuição Normal e padronização (transformar X em Z).
O que vamos precisar:
• Entender a curva normal e a função de distribuição acumulada (Φ).
• Fazer a padronização:
• Consultar (ou usar aproximação de) tabela da normal padrão para obter Φ(z).
Passo 2
Padronizamos os limites 55 kg e 65 kg:
Por quê? Porque a distribuição normal padrão Z tem média 0 e desvio 1, e a tabela de probabilidades que usamos (Φ) é dessa “versão” da curva.
Passo 3
Agora vamos achar as probabilidades acumuladas:
Φ(1,23) ≈ 0,8907 (probabilidade de Z ≤ 1,23)
Φ(−0,40) = 1 − Φ(0,40) ≈ 1 − 0,6554 = 0,3446
Φ(1,23) ≈ 0,8907 (probabilidade de Z ≤ 1,23)
Φ(−0,40) = 1 − Φ(0,40) ≈ 1 − 0,6554 = 0,3446
Explicando: a tabela costuma dar Φ(z) para z ≥ 0. Para z negativo usamos a simetria: Φ(−a)=1−Φ(a).
Passo 4
A probabilidade de X estar entre 55 kg e 65 kg é a diferença:
P(55 ≤ X ≤ 65) = Φ(1,23) − Φ(−0,40)
= 0,8907 − 0,3446
≈ 0,5461
P(55 ≤ X ≤ 65) = Φ(1,23) − Φ(−0,40)
= 0,8907 − 0,3446
≈ 0,5461
Resposta
A probabilidade de um aluno pesar entre 55 kg e 65 kg é aproximadamente 0,5461 (ou 54,61%).