O peso médio de um animal de uma determinada fazenda é de 200 kg e o desvio padrão é de 10 kg . Em 120 animais retirados ao acaso, quantos pesarão mais de 185 kg ? Considere que o peso dos animais tem distribuição normal.
Passo 1
Beleza, aqui o exercício diz que o peso dos bichos segue uma distribuição normal com média μ = 200 kg e desvio padrão σ = 10 kg. A gente pegou uma amostra de n = 120 animais e quer saber quantos deles vão pesar mais de 185 kg.
Conteúdo: distribuição normal, cálculo de probabilidade usando escore-z e uso de tabela (ou propriedade de simetria) da normal padrão.
Conteúdo: distribuição normal, cálculo de probabilidade usando escore-z e uso de tabela (ou propriedade de simetria) da normal padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a variável aleatória:
X = peso de um animal, X ∼ N(μ = 200, σ = 10).
Para achar a probabilidade de X > 185, usamos o escore-z:
X = peso de um animal, X ∼ N(μ = 200, σ = 10).
Para achar a probabilidade de X > 185, usamos o escore-z:
No nosso caso, para X = 185:
Passo 3
Agora queremos P(X > 185), que vira P\bigl(Z > -1{,}5\bigr).
Na distribuição normal padrão (Z), sabemos que:
P(Z > -1{,}5) = 1 − P(Z ≤ -1{,}5).
Mas pela simetria da curva normal:
P(Z ≤ -a) = 1 − P(Z ≤ a).
Então
P(Z > -1{,}5) = P(Z ≤ 1{,}5).
Da tabela da normal padrão, Φ(1,5) ≈ 0,9332.
Logo
Na distribuição normal padrão (Z), sabemos que:
P(Z > -1{,}5) = 1 − P(Z ≤ -1{,}5).
Mas pela simetria da curva normal:
P(Z ≤ -a) = 1 − P(Z ≤ a).
Então
P(Z > -1{,}5) = P(Z ≤ 1{,}5).
Da tabela da normal padrão, Φ(1,5) ≈ 0,9332.
Logo
Passo 4
Esse valor é a proporção dos animais acima de 185 kg. Como a gente tem 120 animais, o número esperado é
Arredondando, dá cerca de 112 animais.
Resposta
Espera-se que aproximadamente 112 animais dos 120 pesem mais de 185 kg.