Num povoamento florestal de distribuição aproximadamente normal dos diâmetros à altura do peito (DAP), a média é de 16,2 cm e o desvio padrão é de 3,4 cm. Determine o valor D tal que tenhamos P(DAP>D)=5 %

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um povoamento florestal onde os diâmetros à altura do peito (DAP) seguem uma distribuição normal. A média é de 16,2 , cm e o desvio padrão é de 3,4 , cm. Queremos encontrar o valor D tal que a probabilidade do DAP ser maior que D é de 5%. Basicamente, estamos procurando o percentil 95 dessa distribuição. Para isso, vamos precisar usar a tabela da distribuição normal padrão e fazer umas contas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos padronizar a variável. Isso significa transformar o DAP em uma variável Z que segue a distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). A fórmula para isso é:
Z = D - musigma
Onde:
  • mu = 16,2 , cm (média)
  • sigma = 3,4 , cm (desvio padrão)

Passo 3

Agora, queremos que P(DAP > D) = 5%. Isso é o mesmo que dizer que P(Z > z) = 0,05. Olhando na tabela da distribuição normal padrão, encontramos que o valor de z correspondente a uma área de 5% à direita é aproximadamente 1,645.

Passo 4

Com o valor de z conhecido, podemos usar a fórmula de padronização para encontrar D:
D = mu + z times sigma
Substituindo os valores:
D = 16,2 + 1,645 times 3,4

Passo 5

Agora é só calcular:
D = 16,2 + 1,645 times 3,4 approx 16,2 + 5,593 approx 21,793 , cm

Resposta

O valor D é aproximadamente 21,8 , cm, ou seja, há 5% de chance do DAP ser maior que esse valor.

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