Sejam X1: N(150,30), X 2: N(200,20), X 3: N(100,14) independentes. Seja X= X1 - X2 + X3, também com distribuição normal. Calcular: P(61 <= X <= 70 ).

Passo 1

O exercício diz que temos três variáveis independentes
X1sim N(150,,30), X2sim N(200,,20), X3sim N(100,,14)
e define
X = X1 - X2 + X3,
A meta é calcular
P(61 <= X <= 70),
Conteúdo: soma (e diferença) de Normais independentes e a padronização na Normal padrão.

Passo 2

Primeiro, lembramos que se Y1sim N(mu1,sigma1^2) e Y2sim N(mu2,sigma2^2) são independentes, então
Y1pm Y2sim N(mu1pmmu2,;sigma1^2+sigma2^2),
Aqui temos combinação linear de três Normais, mas a ideia é a mesma: soma (ou subtração) preserva a normalidade e as variâncias somam.

Passo 3

Calcular a média de X:
muX = E[X1] - E[X2] + E[X3] = 150 - 200 + 100 = 50,
Calcular a variância de X:

pois a variância de sigmaX^2 = Var(X1) + Var(X2) + Var(X3) = 30 + 20 + 14 = 64,, é igual à de -X2 e somamos tudo (independência!).
Então X2.

Passo 4

Agora queremos
P(61 <= X <= 70),
A gente padroniza:
Z = X - muXsigmaX = X - 508sim N(0,1),
Assim
$$P(61 \le X \le 70) = P!\Bigl(\frac{61-50}{8} \le Z \le \frac{70-50}{8}\Bigr)
= P\bigl(1{,}375 \le Z \le 2{,}5\bigr),. $$

Passo 5

Usando a tabela (ou calculadora) da Normal padrão Zsim N(0,1),
Phi(2,5)approx 0,9938, Phi(1,375)approx 0,9154,
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P(1,375<= Z<= 2,5)=Phi(2,5)-Phi(1,375)approx 0,9938-0,9154=0,0784,

Resposta

P(61 <= X <= 70)approx 0,0784,

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