O peso de um saco de café é uma VAC que tem distribuição normal com média de 65 kg e desvio padrão de 4 kg . Um caminhão é carregado com 120 sacos. Qual a probabilidade da carga do caminhão pesar: (a) entre 7893 kg e 7910 kg , (b) mais de 7722 kg . (Repostas: (a) 0,010966, (b) 0,968462).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: cada saco de café pesa uma v.a. normal com média μ=65 kg e desvio-padrão σ=4 kg. A gente carrega 120 sacos no caminhão e quer saber duas coisas:
a) Qual a probabilidade da carga total ficar entre 7 893 kg e 7 910 kg?
b) Qual a probabilidade da carga total ser maior que 7 722 kg?
Conteúdo necessário: distribuição normal e a propriedade de que a soma de variáveis normais independentes é normal também. Vamos usar fórmula da soma (média e variância) e depois tabelas (ou função) da normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a distribuição da soma. Se cada saco S = sumi=1^120 Xi e são independentes, a carga total
E[S] = 120mu = 120cdot65 = 7,800, Var(S) = 120sigma^2 = 120cdot4^2 = 1,920
é normal com
O desvio de é .

Passo 3

Agora padronizamos para achar (a):
P(7,893 <= S <= 7,910) = P!l(7,893-7,800sigmaS <= Z <= 7,910-7,800sigmaSr)
onde 7,893-7,80043,82approx 9343,82approx 2,12, 7,910-7,80043,82approx 11043,82approx 2,51 . Calculando:
P(2,12 <= Z <= 2,51) = Phi(2,51)-Phi(2,12) approx 0,9940 - 0,9830 = 0,01097approx 0,010966
Então

Passo 4

Agora (b):
P(S > 7,722) = P!l(Z > 7,722-7,80043,82r) = P!l(Z > -7843,82r) = P!l(Z > -1,78r)
Como P(S>7,722)=Phi(1,78)approx 0,968462 , temos

Resposta

(a) 0,010966
(b) 0,968462

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