Uma máquina automática enche latas baseada em pesos brutos. O peso bruto tem distribuição normal com
e
. As latas tem peso distribuído normalmente, com
e
. Qual a probabilidade de que uma lata tenha de peso líquido: entre 860 e 920?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte:
- A máquina enche latas medindo o peso bruto que é normal com média
g e desvio g. - O peso da lata vazia também é normal, com média
g e desvio g.
Queremos a probabilidade de o peso líquido (isto é, bruto menos lata vazia) ficar entre 860 g e 920 g.
O conteúdo aqui é distribuição normal e operação com variáveis independentes (soma/diferença), além de padronização e uso da tabela da normal.
Passo 2
Vamos definir duas variáveis aleatórias independentes:
$W$ = peso bruto $\sim N(\mu_W=1000,;\sigma_W2=202)$
$C$ = peso da lata vazia $\sim N(\mu_C=90,;\sigma_C2=102)$
O peso líquido é $L = W - C$.
Teoria chave: se duas normais são independentes, a soma ou diferença também é normal, com
$W$ = peso bruto $\sim N(\mu_W=1000,;\sigma_W2=202)$
$C$ = peso da lata vazia $\sim N(\mu_C=90,;\sigma_C2=102)$
O peso líquido é $L = W - C$.
Teoria chave: se duas normais são independentes, a soma ou diferença também é normal, com
Passo 3
Vamos calcular os parâmetros de $L$:
Passo 4
Agora a probabilidade que queremos é
Pra calcular, padronizamos:
então
Passo 5
Na tabela da normal padrão temos:
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Resposta
A probabilidade de o peso líquido ficar entre 860 g e 920 g é aproximadamente 0,660 (ou 66,0 %).