Uma máquina automática enche latas baseada em pesos brutos. O peso bruto tem distribuição normal com mu=1000 g e sigma=20 g. As latas tem peso distribuído normalmente, com mu=90 g e sigma=10 g. Qual a probabilidade de que uma lata tenha de peso líquido: entre 860 e 920?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte:
  • A máquina enche latas medindo o peso bruto que é normal com média muW =1000,g e desvio sigmaW=20,g.
  • O peso da lata vazia também é normal, com média muC=90,g e desvio sigmaC=10,g.
    Queremos a probabilidade de o peso líquido (isto é, bruto menos lata vazia) ficar entre 860 g e 920 g.
    O conteúdo aqui é distribuição normal e operação com variáveis independentes (soma/​diferença), além de padronização e uso da tabela da normal.

Passo 2

Vamos definir duas variáveis aleatórias independentes:
$W$ = peso bruto $\sim N(\mu_W=1000,;\sigma_W2=202)$
$C$ = peso da lata vazia $\sim N(\mu_C=90,;\sigma_C2=102)$
O peso líquido é $L = W - C$.
Teoria chave: se duas normais são independentes, a soma ou diferença também é normal, com
W

Passo 3

Vamos calcular os parâmetros de $L$:
L

Passo 4

Agora a probabilidade que queremos é
P(860 < L < 920)
Pra calcular, padronizamos:
Z = L - muLsigmaL sim N(0,1),
então
P(860 < L < 920) = P!l(860-91022,36 < Z < 920-91022,36r) = P(-2,2361 < Z < 0,4472)

Passo 5

Na tabela da normal padrão temos:
Phi(0,4472)approx 0,6726, Phi(-2,2361)approx 0,0127
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P(-2,2361 < Z < 0,4472) = Phi(0,4472) - Phi(-2,2361) approx 0,6726 - 0,0127 = 0,6599

Resposta

A probabilidade de o peso líquido ficar entre 860 g e 920 g é aproximadamente 0,660 (ou 66,0 %).

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