Os pesos específicos naturais e graus de saturação de um solo são dados na tabela a seguir:
\gamma\left(\mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}\right) \mathrm{S}(\%)
16,62 50
17,71 75
Determine o índice de vazios (e) e a densidade das partículas sólidas (G).

Passo 1

O enunciado fornece dois pares de valores do peso específico natural e do grau de saturação:
\gamma_1 = 16{,}62\\ \text{kN/m}^3,\quad S_1 = 50\% = 0{,}50
\gamma_2 = 17{,}71\\ \text{kN/m}^3,\quad S_2 = 75\% = 0{,}75
O que nos pedem: determinar o índice de vazios (e) e a densidade relativa das partículas sólidas (G).
Anotação importante: vou usar o peso específico da água \gamma_w = 9{,}81\\ \text{kN/m}^3 (valor padrão).

Passo 2

Vamos escrever a relação básica entre peso específico total \gamma, densidade das partículas G, índice de vazios e, grau de saturação S e peso específico da água \gamma_w. Explicando por que essa fórmula é válida:
  • Volume total V = V_s + V_v, com V_s volume dos sólidos e V_v volume dos vazios.
  • V_v = e\,V_s por definição de índice de vazios.
  • Volume de água V_w = S\,V_v = S\,e\,V_s.
  • Peso dos sólidos = G\,\rho_w\,g\,V_s = G\,\gamma_w\,V_s.
  • Peso da água = \gamma_w\,V_w = \gamma_w\,S\,e\,V_s.
    Assim o peso total por unidade de volume (peso específico) é
\gamma = \frac{\text{peso total}}{V} = \frac{\gamma_w\big(G + S\,e\big)V_s}{(1+e)V_s} = \gamma_w\frac{G + S\,e}{1+e}.

Passo 3

Aplicamos essa fórmula aos dois estados fornecidos, obtendo duas equações:
\gamma_1 = \gamma_w\frac{G + S_1 e}{1+e}, \qquad \gamma_2 = \gamma_w\frac{G + S_2 e}{1+e}.
Subtraindo as duas equações para eliminar G:
\gamma_2 - \gamma_1 = \gamma_w\frac{(G + S_2 e) - (G + S_1 e)}{1+e} = \gamma_w\frac{e(S_2 - S_1)}{1+e}.

Passo 4

Isolamos e a partir da igualdade anterior. Reescrevendo:
\gamma_w\frac{e(S_2 - S_1)}{1+e} = \gamma_2 - \gamma_1.
Multiplicando ambos os lados por 1+e e rearranjando:
\gamma_w e (S_2 - S_1) = (\gamma_2 - \gamma_1) + e(\gamma_2 - \gamma_1).
Colocando os termos em e à esquerda:
e\big(\gamma_w(S_2 - S_1) - (\gamma_2 - \gamma_1)\big) = \gamma_2 - \gamma_1.
Portanto a fórmula para e é
e = \frac{\gamma_2 - \gamma_1}{\gamma_w(S_2 - S_1) - (\gamma_2 - \gamma_1)}.

Passo 5

Agora substituímos os números (lembre que usamos \gamma_w=9{,}81\\ \text{kN/m}^3):
\gamma_2 - \gamma_1 = 17{,}71 - 16{,}62 = 1{,}09\\ \text{kN/m}^3,
S_2 - S_1 = 0{,}75 - 0{,}50 = 0{,}25.
Calculamos o denominador:
\gamma_w(S_2 - S_1) - (\gamma_2 - \gamma_1) = 9{,}81\cdot 0{,}25 - 1{,}09 = 2{,}4525 - 1{,}09 = 1{,}3625.
Logo
e = \frac{1{,}09}{1{,}3625} \approx 0{,}799.

Passo 6

Com e encontrado, calculamos G. Usamos a fórmula rearranjada de \gamma_1:
G = \frac{\gamma_1(1+e)}{\gamma_w} - S_1 e.
Substituindo \gamma_1=16{,}62, \gamma_w=9{,}81, S_1=0{,}50 e e\approx 0{,}799:
1+e \approx 1{,}799,
\frac{\gamma_1(1+e)}{\gamma_w} \approx \frac{16{,}62\cdot 1{,}799}{9{,}81} \approx 3{,}0475,
S_1 e = 0{,}50\cdot 0{,}799 = 0{,}3995.
Portanto
G \approx 3{,}0475 - 0{,}3995 \approx 2{,}648.

Passo 7

Verificação rápida (usar \gamma_2) para checar consistência:
\frac{\gamma_2(1+e)}{\gamma_w} - S_2 e \approx \frac{17{,}71\cdot 1{,}799}{9{,}81} - 0{,}75\cdot 0{,}799 \approx 2{,}649,
valor muito próximo de 2{,}648 (diferença devido a arredondamento), então os resultados são coerentes.

Resposta

e \approx 0{,}799
G \approx 2{,}65

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