Para determinado solo arenoso,
e
, seja
. No campo, o solo é compactado para uma massa específica úmida de
, com teor de umidade
. Determine a compacidade relativa da compactação. Considere a gravidade como
.
Passo 1
O enunciado pede a compacidade relativa (densidade relativa) da compactação do solo. Dados fornecidos:
massa específica úmida (densidade úmida):
teor de umidade:
Considere a água com densidade
. A pergunta é: determinar a compacidade relativa (índice de vazios relativo) do solo compactado no campo.
Passo 2
O que é a compacidade relativa? É o chamado índice de compactação ou densidade relativa
, definido por
onde
é o índice de vazios do solo no estado em que foi medido. Para achar
precisamos primeiro calcular
. Vou explicar como obter
a partir dos dados de densidade úmida
, teor de umidade
e gravidade específica dos grãos
.
Passo 3
Relações básicas (explicando cada coisa):
-
= volume total do solo (vou tomar para facilitar, pois índices são adimensionais). -
= massa dos sólidos no volume . -
= massa da água no volume . -
= densidade úmida = . - teor de umidade em massa:
→ logo .
Portanto. Com ,
A densidade dos sólidos (massa por volume de grãos) é
. O volume de sólidos por unidade de volume total é
O índice de vazios
é a razão entre volume de vazios
e volume de sólidos
. Como
,
logo
Passo 4
Substituímos
na expressão de
. Temos:
Aqui cada símbolo significa:
= densidade úmida (kg/m³),
= teor de umidade (adimensional),
= gravidade específica dos grãos (adimensional),
= densidade da água (kg/m³).
Passo 5
Agora aplicamos os valores numéricos:
Dividindo por
:
Portanto
Passo 6
Agora calculamos a compacidade relativa
pela fórmula do Passo 2:
Em porcentagem isso é
.
Observação didática: reparou que não precisei usar explicitamente a gravidade
? Isso acontece porque trabalhamos com densidades (massa por volume). Se tivéssemos os pesos unitários
(N/m³), aí usaríamos
, mas para densidades
a gravidade cancela e não altera
nem
.