Para determinado solo arenoso, \mathrm{e}_{\max }=0,82 e \mathrm{e}_{\min }=0,42, seja \mathrm{G}=2,66. No campo, o solo é compactado para uma massa específica úmida de 1720 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, com teor de umidade 9 \%. Determine a compacidade relativa da compactação. Considere a gravidade como 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a compacidade relativa (densidade relativa) da compactação do solo. Dados fornecidos:
e_{\max}=0,82,\quad e_{\min}=0,42,\quad G=2,66,
massa específica úmida (densidade úmida):
\rho_{\text{úmida}}=1720\\ \mathrm{kg/m^{3}},ú
teor de umidade:
w=9\%=0,09.
Considere a água com densidade \rho_{w}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. A pergunta é: determinar a compacidade relativa (índice de vazios relativo) do solo compactado no campo.

Passo 2

O que é a compacidade relativa? É o chamado índice de compactação ou densidade relativa D_{r}, definido por
D_{r}=\frac{e_{\max}-e}{e_{\max}-e_{\min}},
onde e é o índice de vazios do solo no estado em que foi medido. Para achar D_{r} precisamos primeiro calcular e. Vou explicar como obter e a partir dos dados de densidade úmida \rho, teor de umidade w e gravidade específica dos grãos G.

Passo 3

Relações básicas (explicando cada coisa):
  • V = volume total do solo (vou tomar V=1\\ \mathrm{m^{3}} para facilitar, pois índices são adimensionais).
  • M_s = massa dos sólidos no volume V.
  • M_w = massa da água no volume V.
  • \rho = densidade úmida = \dfrac{M_s+M_w}{V}.
  • teor de umidade em massa: w=\dfrac{M_w}{M_s} → logo M_w=wM_s.
    Portanto M_s+M_w=M_s(1+w). Com V=1,
M_s=\frac{\rho}{1+w}.
A densidade dos sólidos (massa por volume de grãos) é \rho_s=G\rho_w. O volume de sólidos por unidade de volume total é
V_s=\frac{M_s}{\rho_s}=\frac{\rho}{1+w}\cdot\frac{1}{G\rho_w}.
O índice de vazios e é a razão entre volume de vazios V_v e volume de sólidos V_s. Como V=1,
V_v=1-V_s,
logo
e=\frac{V_v}{V_s}=\frac{1-V_s}{V_s}=\frac{1}{V_s}-1.

Passo 4

Substituímos V_s na expressão de e. Temos:
V_s=\frac{\rho}{(1+w)G\rho_w}\quad\Rightarrow\quad e=\frac{(1+w)G\rho_w}{\rho}-1.
Aqui cada símbolo significa:
\rho = densidade úmida (kg/m³), w = teor de umidade (adimensional), G = gravidade específica dos grãos (adimensional), \rho_w = densidade da água (kg/m³).

Passo 5

Agora aplicamos os valores numéricos:
(1+w)G\rho_w=(1+0,09)\cdot 2,66\cdot 1000=1,09\cdot 2660=2899,4.
Dividindo por \rho=1720:
\frac{(1+w)G\rho_w}{\rho}=\frac{2899,4}{1720}\approx 1,6859.
Portanto
e\approx 1,6859-1=0,6859\approx 0,686.

Passo 6

Agora calculamos a compacidade relativa D_{r} pela fórmula do Passo 2:
D_{r}=\frac{e_{\max}-e}{e_{\max}-e_{\min}}=\frac{0,82-0,686}{0,82-0,42}=\frac{0,134}{0,40}=0,335.
Em porcentagem isso é 33,5\%.
Observação didática: reparou que não precisei usar explicitamente a gravidade g? Isso acontece porque trabalhamos com densidades (massa por volume). Se tivéssemos os pesos unitários \gamma (N/m³), aí usaríamos g, mas para densidades kg/m^{3} a gravidade cancela e não altera e nem D_{r}.

Resposta

D_{r}\approx 33{,}5\%

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