Os pesos de uma população de trabalhadores tem média 76kg e desvio padrão 12 kg .
A partir de uma amostra de 36 trabalhadores, aproxime a probabilidade de que os pesos variem entre 74 e 77 kg .

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado diz que temos uma população de trabalhadores com peso médio de 76 kg e um desvio padrão de 12 kg. Queremos saber a probabilidade de que, ao pegar uma amostra de 36 trabalhadores, a média dos pesos dessa amostra fique entre 74 kg e 77 kg. Vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Teorema Central do Limite para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, quando tiramos uma amostra de tamanho $ n $ de uma população com média $ \mu $ e desvio padrão $ \sigma n é \bar{X} $) também segue uma distribuição normal com média $ \mu $ e desvio padrão $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $. Isso é graças ao Teorema Central do Limite, que diz que para amostras grandes (geralmente $ n \geq 30 $ é considerado grande), a distribuição da média amostral tende a ser normal, mesmo que a população original não seja.

Passo 3

Vamos calcular o Desvio Padrão da Média Amostral:
sigmabarX = sigmaraizn = 12raiz36 = 126 = 2 , kg
Então, a média amostral $ \bar{X} $ tem distribuição normal com média 76 kg e desvio padrão 2 kg.

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de $ \bar{X} $ estar entre 74 kg e 77 kg, ou seja, $ P(74 \leq \bar{X} \leq 77) $.

Passo 5

Para isso, vamos usar a Transformação Z, que padroniza a variável para usar a tabela da distribuição normal padrão. A fórmula é:
Z = barX - musigmabarX
Calculando os valores de Z para 74 kg e 77 kg:
Z1 = 74 - 762 = -22 = -1
Z2 = 77 - 762 = 12 = 0,5

Passo 6

Agora, queremos encontrar $ P(-1 \leq Z \leq 0,5) $. Usando a tabela da distribuição normal padrão:
  • $ P(Z \leq 0,5) $ ≈ 0,6915
  • $ P(Z \leq -1) $ ≈ 0,1587

Passo 7

A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas:
P(-1 <= Z <= 0,5) = P(Z <= 0,5) - P(Z <= -1) = 0,6915 - 0,1587 = 0,5328
Ou seja, aproximadamente 53,28%.

Resposta

A probabilidade de que a média dos pesos na amostra de 36 trabalhadores esteja entre 74 kg e 77 kg é de aproximadamente 53,3%.

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