Uma empresa produz um parafuso que deve ter em média 15 mm . Após coletar de um lote, uma amostra de tamanho n=10, foi constatado uma média de 13,5 mm. Assumindo que a distribuição seja normal que a empresa produz estes parafusos com um desvio padrão de 3mm. Verifique se ela deve reprovar este lote com um nível de confiança de 90 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma empresa que fabrica parafusos com uma média esperada de 15 mm. Eles pegaram uma amostra de 10 parafusos e a média foi de 13,5 mm. Sabemos que o desvio padrão da produção é de 3 mm e queremos verificar, com 90% de confiança, se esse lote deve ser rejeitado. Para isso, vamos usar um teste de hipótese estatístico, especificamente o teste z, já que conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um teste de hipótese. Basicamente, ele nos ajuda a decidir se os dados da amostra suportam ou não uma afirmação sobre a população. No nosso caso, a hipótese nula ($ H_0 H0 éééó H_a $) é que a média é diferente de 15 mm.
A fórmula para o valor z é:
Ha
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média da amostra (13,5 mm)
  • $ \mu $ é a média da população (15 mm)
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da população (3 mm)
  • $ n $ é o tamanho da amostra (10)

Passo 3

Vamos calcular o valor z usando os números que temos:
z = 13,5 - 153 / raiz10 = -1,50,9487 approx -1,58

Passo 4

Agora, precisamos comparar esse valor z com o valor crítico para um nível de confiança de 90%. Como estamos verificando se a média é menor que 15 mm, é um teste unilateral. O valor crítico z para 90% de confiança em um teste unilateral é aproximadamente -1,28.

Passo 5

Comparamos o z calculado (-1,58) com o valor crítico (-1,28):
  • Se $ z $ estiver além de -1,28, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se $ z $ estiver dentro de -1,28 a 1,28, não rejeitamos.
No nosso caso, -1,58 < -1,28, então rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Sim, a empresa deve reprovar este lote, pois a média da amostra está significativamente abaixo da média esperada com 90% de confiança.

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