Uma empresa produz um parafuso que deve ter em média 15 mm . Após coletar de um lote, uma amostra de tamanho
, foi constatado uma média de
. Assumindo que a distribuição seja normal que a empresa produz estes parafusos com um desvio padrão de 3mm. Verifique se ela deve reprovar este lote com um nível de confiança de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma empresa que fabrica parafusos com uma média esperada de 15 mm. Eles pegaram uma amostra de 10 parafusos e a média foi de 13,5 mm. Sabemos que o desvio padrão da produção é de 3 mm e queremos verificar, com 90% de confiança, se esse lote deve ser rejeitado. Para isso, vamos usar um teste de hipótese estatístico, especificamente o teste z, já que conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um teste de hipótese. Basicamente, ele nos ajuda a decidir se os dados da amostra suportam ou não uma afirmação sobre a população. No nosso caso, a hipótese nula ($ H_0
H_a $) é que a média é diferente de 15 mm.
A fórmula para o valor z é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média da amostra (13,5 mm)
- $ \mu $ é a média da população (15 mm)
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população (3 mm)
- $ n $ é o tamanho da amostra (10)
Passo 3
Vamos calcular o valor z usando os números que temos:
Passo 4
Agora, precisamos comparar esse valor z com o valor crítico para um nível de confiança de 90%. Como estamos verificando se a média é menor que 15 mm, é um teste unilateral. O valor crítico z para 90% de confiança em um teste unilateral é aproximadamente -1,28.
Passo 5
Comparamos o z calculado (-1,58) com o valor crítico (-1,28):
- Se $ z $ estiver além de -1,28, rejeitamos a hipótese nula.
- Se $ z $ estiver dentro de -1,28 a 1,28, não rejeitamos.
No nosso caso, -1,58 < -1,28, então rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Sim, a empresa deve reprovar este lote, pois a média da amostra está significativamente abaixo da média esperada com 90% de confiança.