Em uma pesquisa, um biólogo está estudando a polinização de plantas e deseja analisar 5 espécies diferentes de flores. Ele quer:
Determinar de quantas maneiras diferentes ele pode observar 3 espécies de flores em uma sequência específica (por exemplo, na ordem em que as flores são visitadas por insetos polinizadores).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • \,5\, espécies diferentes de flores disponíveis para observação.
  • Ele quer observar uma sequência de \,3\, espécies (a ordem importa: por exemplo, a ordem em que os insetos visitam as flores).
    A pergunta é: de quantas maneiras diferentes é possível formar essa sequência de \,3\, espécies escolhidas entre as \,5\, disponíveis?

Passo 2

Entendendo o que significa “sequência” aqui (o que é crucial):
  • “Sequência” significa que a ordem importa: observar as espécies A, depois B, depois C é diferente de observar B, depois A, depois C.
  • O enunciado fala em “3 espécies” (e são \,5\, espécies diferentes no total), então interpretamos que não se repete a mesma espécie na mesma sequência (cada uma das 3 observações é de espécies diferentes). Se repetição fosse permitida, o cálculo seria outro — eu mostro isso depois como observação.
Para contar quantas sequências possíveis existem vamos usar o Princípio Fundamental da Contagem: se uma escolha pode ser feita de \,a\, maneiras e, depois, outra independente pode ser feita de \,b\, maneiras, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de \,a\cdot b\, maneiras. Aplicando isso passo a passo às três posições da sequência:
  • Para a primeira observação há \,5\, opções (qualquer uma das \,5\, espécies).
  • Depois de escolhida a primeira (e sem repetição), para a segunda observação restam \,4\, opções.
  • Para a terceira observação restam \,3\, opções.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem o número total de sequências é
5 \cdot 4 \cdot 3.
Agora calculamos isso de forma simples e sem calculadora:
5 \cdot 4 = 20, \qquad 20 \cdot 3 = 60.
Portanto, pelo raciocínio direto, existem \,60\, sequências possíveis.

Passo 3

Conectando com a fórmula padrão de permutações (útil para perguntas semelhantes na prova):
  • A fórmula para o número de formas de escolher e ordenar k objetos distintos a partir de n objetos distintos (sem repetição) é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde “ !” é o fatorial: para um inteiro positivo m,
m! = m\cdot (m-1)\cdot (m-2)\cdots 2\cdot 1.
No nosso caso n=5 e k=3. Aplicando a fórmula:
P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}.
Calculando os fatoriais:
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120, \qquad 2! = 2\cdot1 = 2.
Logo
P(5,3)=\frac{120}{2}=60,
confirmando o resultado do passo anterior. Essa é uma forma mais “teórica” e que escala bem para valores maiores.

Passo 4

Observações adicionais que ajudam na prova (dicas práticas):
  • Se no enunciado fosse permitido repetir espécies (por exemplo, um inseto poderia visitar a mesma espécie mais de uma vez e isso fosse registrado), o número de sequências seria \,5^3=125\, porque cada uma das 3 posições teria sempre 5 opções independentes.
  • Se a ordem não importasse (ou seja, somente escolher um subconjunto de \,3\, espécies dentre \,5\,, sem ordem), então o cálculo seria por combinações e o número seria
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}=10.
Saber distinguir “ordem importa?” e “repetição permitida?” é o truque principal em questões deste tipo.

Resposta

\,60\,

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