Em uma pesquisa, um biólogo está estudando a polinização de plantas e deseja analisar 5 espécies diferentes de flores. Ele quer:
Determinar de quantas maneiras diferentes ele pode observar 3 espécies de flores em uma sequência específica (por exemplo, na ordem em que as flores são visitadas por insetos polinizadores).
Determinar de quantas maneiras diferentes ele pode observar 3 espécies de flores em uma sequência específica (por exemplo, na ordem em que as flores são visitadas por insetos polinizadores).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Há
espécies diferentes de flores disponíveis para observação. - Ele quer observar uma sequência de
espécies (a ordem importa: por exemplo, a ordem em que os insetos visitam as flores).
A pergunta é: de quantas maneiras diferentes é possível formar essa sequência deespécies escolhidas entre as disponíveis?
Passo 2
Entendendo o que significa “sequência” aqui (o que é crucial):
- “Sequência” significa que a ordem importa: observar as espécies
, depois , depois é diferente de observar , depois , depois . - O enunciado fala em “3 espécies” (e são
espécies diferentes no total), então interpretamos que não se repete a mesma espécie na mesma sequência (cada uma das 3 observações é de espécies diferentes). Se repetição fosse permitida, o cálculo seria outro — eu mostro isso depois como observação.
Para contar quantas sequências possíveis existem vamos usar o Princípio Fundamental da Contagem: se uma escolha pode ser feita de
maneiras e, depois, outra independente pode ser feita de
maneiras, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de
maneiras. Aplicando isso passo a passo às três posições da sequência:
- Para a primeira observação há
opções (qualquer uma das espécies). - Depois de escolhida a primeira (e sem repetição), para a segunda observação restam
opções. - Para a terceira observação restam
opções.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem o número total de sequências é
Agora calculamos isso de forma simples e sem calculadora:
Portanto, pelo raciocínio direto, existem
sequências possíveis.
Passo 3
Conectando com a fórmula padrão de permutações (útil para perguntas semelhantes na prova):
- A fórmula para o número de formas de escolher e ordenar
objetos distintos a partir de objetos distintos (sem repetição) é
onde “
” é o fatorial: para um inteiro positivo
,
No nosso caso
e
. Aplicando a fórmula:
Calculando os fatoriais:
Logo
confirmando o resultado do passo anterior. Essa é uma forma mais “teórica” e que escala bem para valores maiores.
Passo 4
Observações adicionais que ajudam na prova (dicas práticas):
- Se no enunciado fosse permitido repetir espécies (por exemplo, um inseto poderia visitar a mesma espécie mais de uma vez e isso fosse registrado), o número de sequências seria
porque cada uma das 3 posições teria sempre 5 opções independentes. - Se a ordem não importasse (ou seja, somente escolher um subconjunto de
espécies dentre , sem ordem), então o cálculo seria por combinações e o número seria
Saber distinguir “ordem importa?” e “repetição permitida?” é o truque principal em questões deste tipo.