Questão 31. (Sheldon Ross) O número médio mensal de acidentes aéreos envolvendo aviões comerciais em todo o mundo é igual a 3,5 . Qual é a probabilidade de que
(c) Qual é o valor esperado, a variância e o desvio padrão da variável aleatória que representa o problema?

Passo 1

O enunciado dá a informação de que o número médio mensal de acidentes aéreos envolvendo aviões comerciais em todo o mundo é 3,5. A pergunta (c) pede:
  • o valor esperado da variável aleatória que representa o número de acidentes num mês;
  • a variância dessa variável aleatória;
  • o desvio padrão dessa variável aleatória.
Informações relevantes fornecidas:
  • Média (ou taxa média) por mês: 3,5.

Passo 2

Modelagem apropriada (sem entrar em detalhes técnicos demais): para contagem de eventos raros em um intervalo de tempo fixo (aqui, um mês), quando nos é fornecida apenas a média, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. Vou assumir esse modelo porque é o mais natural para “número de acidentes por mês” quando só se dá a média.
Então definimos a variável aleatória X como o número de acidentes num mês e modelamos
X \sim \text{Poisson}(\lambda)
onde \lambda é o parâmetro da distribuição (a média esperada por intervalo). Aqui pegamos \lambda=3,5 (peguei esse valor do enunciado).

Passo 3

Lembrando a definição da distribuição de Poisson: a probabilidade de X assumir o valor k (onde k é um inteiro não-negativo) é
\Pr(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
No enunciado, \lambda=3,5. Nesta fórmula, \lambda é a média/ taxa média esperada por mês, e é a base dos logaritmos naturais, e k! é o fatorial de k.

Passo 4

Cálculo do valor esperado E[X]. Vou mostrar a conta clássica, que também serve como “aula” de técnica que cai em prova:
Por definição
E[X]=\sum_{k=0}^{\infty} k\,\Pr(X=k)=\sum_{k=0}^{\infty} k\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Note que o termo com k=0 é zero, então podemos começar a soma em k=1. Reescrevendo usando k!=k\cdot(k-1)! e fazendo a substituição j=k-1 obtemos
E[X]=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!} = e^{-\lambda}\lambda\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^{j}}{j!}.
Mas \sum_{j=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^{j}}{j!}=e^{\lambda}. Assim
E[X]=e^{-\lambda}\lambda e^{\lambda}=\lambda.
Portanto, para Poisson, o valor esperado é igual ao parâmetro \lambda. Como aqui \lambda=3,5, segue que
E[X]=3,5.

Passo 5

Cálculo da variância \operatorname{Var}(X). Método padrão: calcular E[X(X-1)], que para Poisson tem forma simples, e usar \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2 com E[X^2]=E[X(X-1)]+E[X].
Primeiro
E[X(X-1)]=\sum_{k=0}^{\infty} k(k-1)\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
O termo começa efetivamente em k=2. Reescrevendo k(k-1)k!=k(k-1)\cdot(k-2)!\cdot(k-2+2)! (mais fácil: use a mesma técnica de deslocamento) e fazendo j=k-2, obtemos
E[X(X-1)]=e^{-\lambda}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{(k-2)!} = e^{-\lambda}\lambda^{2}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^{j}}{j!} = e^{-\lambda}\lambda^{2}e^{\lambda}=\lambda^{2}.
Logo
E[X^{2}]=E[X(X-1)]+E[X]=\lambda^{2}+\lambda.
Portanto
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2}=(\lambda^{2}+\lambda)-\lambda^{2}=\lambda.
Assim, para Poisson a variância também é igual a \lambda. Com \lambda=3,5, temos
\operatorname{Var}(X)=3,5.

Passo 6

Cálculo do desvio padrão. Por definição o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\text{desvio padrão}=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{\lambda}.ã
Substituindo \lambda=3,5,
\text{desvio padrão}=\sqrt{3,5}\approx1,87.ã
Dica prática para prova: memorize que, para Poisson, média = variância = \lambda e desvio padrão = \sqrt{\lambda}. Assim, bastando identificar \lambda (a média dada), responde-se rapidinho.

Passo 7

Resumo rápido (do jeito que o professor provavelmente espera ver na prova):
  • Identificar que X é Poisson com parâmetro \lambda=3,5.
  • Apresentar as fórmulas: E[X]=\lambda, \operatorname{Var}(X)=\lambda, \sigma_X=\sqrt{\lambda}.
  • Substituir \lambda=3,5 para obter os valores numéricos.

Resposta

E[X]=3,5
\operatorname{Var}(X)=3,5
\text{desvio padrão}=\sqrt{3,5}\approx1,87ã

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