Questão 31. (Sheldon Ross) O número médio mensal de acidentes aéreos envolvendo aviões comerciais em todo o mundo é igual a 3,5 . Qual é a probabilidade de que
(c) Qual é o valor esperado, a variância e o desvio padrão da variável aleatória que representa o problema?
(c) Qual é o valor esperado, a variância e o desvio padrão da variável aleatória que representa o problema?
Passo 1
O enunciado dá a informação de que o número médio mensal de acidentes aéreos envolvendo aviões comerciais em todo o mundo é
. A pergunta (c) pede:
- o valor esperado da variável aleatória que representa o número de acidentes num mês;
- a variância dessa variável aleatória;
- o desvio padrão dessa variável aleatória.
Informações relevantes fornecidas:
- Média (ou taxa média) por mês:
.
Passo 2
Modelagem apropriada (sem entrar em detalhes técnicos demais): para contagem de eventos raros em um intervalo de tempo fixo (aqui, um mês), quando nos é fornecida apenas a média, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. Vou assumir esse modelo porque é o mais natural para “número de acidentes por mês” quando só se dá a média.
Então definimos a variável aleatória
como o número de acidentes num mês e modelamos
onde
é o parâmetro da distribuição (a média esperada por intervalo). Aqui pegamos
(peguei esse valor do enunciado).
Passo 3
Lembrando a definição da distribuição de Poisson: a probabilidade de
assumir o valor
(onde
é um inteiro não-negativo) é
No enunciado,
. Nesta fórmula,
é a média/ taxa média esperada por mês,
é a base dos logaritmos naturais, e
é o fatorial de
.
Passo 4
Cálculo do valor esperado
. Vou mostrar a conta clássica, que também serve como “aula” de técnica que cai em prova:
Por definição
Note que o termo com
é zero, então podemos começar a soma em
. Reescrevendo usando
e fazendo a substituição
obtemos
Mas
. Assim
Portanto, para Poisson, o valor esperado é igual ao parâmetro
. Como aqui
, segue que
Passo 5
Cálculo da variância
. Método padrão: calcular
, que para Poisson tem forma simples, e usar
com
.
Primeiro
O termo começa efetivamente em
. Reescrevendo
(mais fácil: use a mesma técnica de deslocamento) e fazendo
, obtemos
Logo
Portanto
Assim, para Poisson a variância também é igual a
. Com
, temos
Passo 6
Cálculo do desvio padrão. Por definição o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Substituindo
,
Dica prática para prova: memorize que, para Poisson, média = variância =
e desvio padrão =
. Assim, bastando identificar
(a média dada), responde-se rapidinho.
Passo 7
Resumo rápido (do jeito que o professor provavelmente espera ver na prova):
- Identificar que
é Poisson com parâmetro . - Apresentar as fórmulas:
, , . - Substituir
para obter os valores numéricos.