Em uma pesquisa, um biólogo está estudando a polinização de plantas e deseja analisar 5 espécies diferentes de flores. Ele quer:
Determinar de quantas maneiras ele pode escolher 3 espécies de flores para um experimento de polinização, sem considerar a ordem.
Determinar de quantas maneiras ele pode escolher 3 espécies de flores para um experimento de polinização, sem considerar a ordem.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
- Informação: há
espécies diferentes de flores disponíveis. - Pedido: determinar de quantas maneiras é possível escolher
espécies para um experimento, sem considerar a ordem das espécies (ou seja, selecionar um conjunto de espécies; a ordem de seleção não importa).
Passo 2
Entendimento do que significa “sem considerar a ordem”.
- Quando a ordem não importa, estamos formando subconjuntos diferentes de tamanho
a partir de um conjunto de tamanho . - Um exemplo para ficar claro: escolher as espécies A, B e C é a mesma escolha que escolher C, B e A — ambas representam o mesmo grupo de
espécies.
Passo 3
Apresentar a fórmula que vamos usar (combinação).
- Para contar quantas maneiras diferentes de escolher
elementos de um conjunto com elementos, sem considerar ordem, usa-se a combinação:
- Aqui cada símbolo significa:
-
é o fatorial de , ou seja . -
é o número de elementos escolhidos. -
é o número de elementos não escolhidos. -
é lido “n escolhe k” e dá o número de combinações possíveis.
-
Passo 4
Substituir os valores do problema na fórmula.
- No problema temos
e . Substituindo:
Passo 5
Calcular os fatoriais e simplificar passo a passo (sem pular etapas).
- Primeiro escrevendo os fatoriais:
- Agora colocar na fração:
- Cancelar o
do numerador com do denominador:
- Calcular o que resta:
Passo 6
Uma explicação alternativa (intuitiva) rápida, para fixar:
- Contando ordens primeiro: o número de arranjos ordenados de
espécies escolhidas dentre seria (escolher primeiro, segundo e terceiro). - Mas cada conjunto de
espécies é contado vezes nas permutações (porque as três podem aparecer em ordens diferentes). - Então dividir
por dá , que coincide com o resultado acima. Isso mostra por que a fórmula de combinação funciona.
Passo 7
Comentário de ânimo (rápido): essa é uma conta básica de combinatória muito comum em provas — decorando a fórmula e praticando esse tipo de cancelamento fica tranquilo de fazer rapidinho na hora.