Em uma pesquisa, um biólogo está estudando a polinização de plantas e deseja analisar 5 espécies diferentes de flores. Ele quer:
Determinar de quantas maneiras ele pode escolher 3 espécies de flores para um experimento de polinização, sem considerar a ordem.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
  • Informação: há 5 espécies diferentes de flores disponíveis.
  • Pedido: determinar de quantas maneiras é possível escolher 3 espécies para um experimento, sem considerar a ordem das espécies (ou seja, selecionar um conjunto de 3 espécies; a ordem de seleção não importa).

Passo 2

Entendimento do que significa “sem considerar a ordem”.
  • Quando a ordem não importa, estamos formando subconjuntos diferentes de tamanho 3 a partir de um conjunto de tamanho 5.
  • Um exemplo para ficar claro: escolher as espécies A, B e C é a mesma escolha que escolher C, B e A — ambas representam o mesmo grupo de 3 espécies.

Passo 3

Apresentar a fórmula que vamos usar (combinação).
  • Para contar quantas maneiras diferentes de escolher k elementos de um conjunto com n elementos, sem considerar ordem, usa-se a combinação:
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • n! é o fatorial de n, ou seja n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
    • k é o número de elementos escolhidos.
    • n-k é o número de elementos não escolhidos.
    • \binom{n}{k} é lido “n escolhe k” e dá o número de combinações possíveis.

Passo 4

Substituir os valores do problema na fórmula.
  • No problema temos n=5 e k=3. Substituindo:
\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!}.

Passo 5

Calcular os fatoriais e simplificar passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro escrevendo os fatoriais:
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1, \qquad 3! = 3\cdot2\cdot1, \qquad 2! = 2\cdot1.
  • Agora colocar na fração:
\binom{5}{3} = \frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(3\cdot2\cdot1)(2\cdot1)}.
  • Cancelar o 3\cdot2\cdot1 do numerador com 3! do denominador:
\binom{5}{3} = \frac{5\cdot4}{2\cdot1}.
  • Calcular o que resta:
\frac{5\cdot4}{2\cdot1} = \frac{20}{2} = 10.

Passo 6

Uma explicação alternativa (intuitiva) rápida, para fixar:
  • Contando ordens primeiro: o número de arranjos ordenados de 3 espécies escolhidas dentre 5 seria 5\cdot4\cdot3 = 60 (escolher primeiro, segundo e terceiro).
  • Mas cada conjunto de 3 espécies é contado 3! vezes nas permutações (porque as três podem aparecer em 3!=6 ordens diferentes).
  • Então dividir 60 por 3! 60/6=10, que coincide com o resultado acima. Isso mostra por que a fórmula de combinação funciona.

Passo 7

Comentário de ânimo (rápido): essa é uma conta básica de combinatória muito comum em provas — decorando a fórmula e praticando esse tipo de cancelamento fica tranquilo de fazer rapidinho na hora.

Resposta

10

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