Um experimento de titulação é conduzido para determinar a concentração de ácido em uma solução. É medida a quantidade de ácido (em mL ) necessária para neutralizar uma base em 12 experimentos diferentes. Os dados coletados são os seguintes: 15, 30, 12, 40, 25, 35, 18, 50, 22, 45, 10, 33. Use que:
e
(a) Determine a média, mediana, a moda e o desvio padrão das quantidades de ácido.
(b) Classifique os dados em relação à assimetria, através do coeficiente de assimetria.
(c) Monte a tabela da distribuição de frequências das medidas com 3 intervalos de classe de amplitudes iguais.
d) Construa o histograma de proporção das quantidades de ácido, utilizando as classes obtidas no item anterior.
(e) Determine a média e a mediana dos dados agrupados na tabela do item (c).
(a) Determine a média, mediana, a moda e o desvio padrão das quantidades de ácido.
(b) Classifique os dados em relação à assimetria, através do coeficiente de assimetria.
(c) Monte a tabela da distribuição de frequências das medidas com 3 intervalos de classe de amplitudes iguais.
d) Construa o histograma de proporção das quantidades de ácido, utilizando as classes obtidas no item anterior.
(e) Determine a média e a mediana dos dados agrupados na tabela do item (c).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e também os dados que vou usar (peguei todos os números do enunciado). Dados observados (em mL):
Informações já fornecidas:
O enunciado pede:
(a) determinar a média, a mediana, a moda e o desvio padrão das quantidades de ácido;
(b) classificar a assimetria usando um coeficiente de assimetria;
(c) montar a tabela de distribuição de frequências com intervalos de mesma amplitude;
(d) construir o histograma de proporção usando as classes do item (c);
(e) determinar a média e a mediana dos dados agrupados na tabela do item (c).
(a) determinar a média, a mediana, a moda e o desvio padrão das quantidades de ácido;
(b) classificar a assimetria usando um coeficiente de assimetria;
(c) montar a tabela de distribuição de frequências com
(d) construir o histograma de proporção usando as classes do item (c);
(e) determinar a média e a mediana dos dados agrupados na tabela do item (c).
Passo 2
Cálculo da média aritmética. Explico a fórmula e o que é cada símbolo:
- A média amostral
é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Fórmula:
onde
é o número de observações (aqui
) e
são as observações.
Aplicando ao caso:
Aplicando ao caso:
Comentário prático: na prova calcule a fração exata
e, se precisar, arredonde conforme pedido.
Passo 3
Cálculo da mediana. Explico o conceito e o procedimento:
- A mediana é o valor que deixa metade dos dados abaixo e metade acima. Para
par, é a média dos dois valores centrais da amostra ordenada.
Ordenando os dados (já mostrei no Passo 1):
Como
(par), a mediana
é a média do
e do
valores:
Passo 4
Determinar a moda. Explico:
- A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Se nenhum valor se repete, diz-se que a amostra é amodal (sem moda).
Observando os dados, nenhum valor aparece mais de uma vez. Portanto:
Passo 5
Cálculo do desvio padrão (escolha do estimador). Explico as opções:
- Existem duas definições comuns: desvio padrão populacional (dividir por
) e desvio padrão amostral (dividir por ). Em experimentos com amostras usa-se o desvio amostral. Vou usar o desvio amostral , com fórmula baseada nas somas que temos:
Vou calcular passo a passo usando
,
e
.
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora a soma dos quadrados centrados:
A variância amostral:
Portanto o desvio padrão amostral:
Comentário prático: na prova faça as contas na ordem indicada para evitar perda de precisão.
Passo 6
Escolha do coeficiente de assimetria e fórmula usada. Explico as opções e por que escolhi:
- Há vários coeficientes (Pearson, momento amostral, Fisher-Pearson corrigido). Para uma interpretação rápida e didática usa-se frequentemente o coeficiente de Pearson:
onde
é a média,
a mediana e
o desvio padrão amostral. É fácil de calcular e dá uma indicação da direção da assimetria (positivo = cauda à direita, negativo = cauda à esquerda).
Vou usar por ser simples e adequado para classificação rápida.
Vou usar
Passo 7
Cálculo do coeficiente de assimetria de Pearson com os valores já encontrados:
Logo
Interpretação:
é um valor pequeno e positivo, indicando uma leve assimetria positiva (distribuição praticamente simétrica, com tendência muito fraca à direita).
Passo 8
Preparar as classes para a tabela de frequências com 3 intervalos de mesma amplitude. Explico como escolher:
- A amplitude total (alcance) é
. - Dividindo por
dá amplitude de classe .
Vou então adotar as classes de limites:
Contagem de observações em cada classe (usando os valores listados no Passo 1):
- Classe 1 contém
→ frequência absoluta . - Classe 2 contém
→ frequência absoluta . - Classe 3 contém
→ frequência absoluta .
Verificação:, ok.
Passo 9
Montar a tabela de frequências (incluindo proporções). Explico as colunas e como calcular:
- Proporção (frequência relativa)
.
Calculando:
Tabela (resumida):
-
: , . -
: , . -
: , .
Passo 10
Construir o histograma de proporção (descrição textual do histograma, pois não posso desenhar). Explico o que significa “histograma de proporção”:
- Como as classes têm mesma amplitude, um histograma de proporção pode mostrar cada barra com altura igual à proporção
. (Se fosse histograma de densidade, a altura seria .)
Descrição do histograma de proporção usando as classes do Passo 8: - Barra 1: sobre o intervalo
com altura . - Barra 2: sobre o intervalo
com altura . - Barra 3: sobre o intervalo
com altura .
Observação prática para prova: desenhe o eixo horizontal dea , marque as fronteiras e desenhe as barras com essas alturas; como as barras têm a mesma largura, a visualização mostra claramente as proporções.
Passo 11
Cálculo da média dos dados agrupados (média por classes) explicando a técnica:
- Para dados agrupados em classes, usa-se a média aproximada substituindo cada valor da classe pelo ponto médio
da classe e calculando .
Calcular os pontos médios:
Multiplicando por frequências:
Somando:
Portanto a média agrupada:
Comentário: a média agrupada é uma aproximação que depende do critério de construção das classes; aqui fica bem próxima da média exata
.
Passo 12
Cálculo da mediana por interpolação na tabela agrupada. Explico a fórmula:
- Para classe mediana, usa-se a fórmula de interpolação linear:
onde
é o limite inferior da classe mediana,
é a frequência acumulada antes da classe mediana,
é a frequência da classe mediana,
é a amplitude da classe e
o total de observações.
Aqui . A classe que contém a posição
é a classe 2 (porque a frequência acumulada até a classe 1 é
, que é menor que
; adicionando a classe 2 chegamos a
que ultrapassa
). Portanto:
Aqui
Aplicando:
Assim a mediana agrupada é aproximadamente
mL.
Resposta
(a) Média:
.
(a) Mediana: .
(a) Moda: não existe (amodal).
(a) Desvio padrão (amostral):
(b) Coeficiente de assimetria de Pearson: . Classificação: distribuição praticamente simétrica com ligeira assimetria positiva.
(c) Tabela de frequências com 3 classes de mesma amplitude ( ):
(a) Mediana:
(a) Moda: não existe (amodal).
(a) Desvio padrão (amostral):
(b) Coeficiente de assimetria de Pearson:
(c) Tabela de frequências com 3 classes de mesma amplitude (
(d) Histograma de proporção (descrição): três barras sobre os intervalos acima, com alturas iguais às proporções
, respetivamente (largura de cada barra
).
(e) Média dos dados agrupados:
(e) Mediana dos dados agrupados (por interpolação):
(e) Média dos dados agrupados:
(e) Mediana dos dados agrupados (por interpolação):