Um experimento de titulação é conduzido para determinar a concentração de ácido em uma solução. É medida a quantidade de ácido (em mL ) necessária para neutralizar uma base em 12 experimentos diferentes. Os dados coletados são os seguintes: 15, 30, 12, 40, 25, 35, 18, 50, 22, 45, 10, 33. Use que: \sum_{i=1}^{12} x_{i}=335 e \sum_{i=1}^{12} x_{i}^{2}=11241
(a) Determine a média, mediana, a moda e o desvio padrão das quantidades de ácido.
(b) Classifique os dados em relação à assimetria, através do coeficiente de assimetria.
(c) Monte a tabela da distribuição de frequências das medidas com 3 intervalos de classe de amplitudes iguais.
d) Construa o histograma de proporção das quantidades de ácido, utilizando as classes obtidas no item anterior.
(e) Determine a média e a mediana dos dados agrupados na tabela do item (c).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e também os dados que vou usar (peguei todos os números do enunciado). Dados observados (em mL):
10,\;12,\;15,\;18,\;22,\;25,\;30,\;33,\;35,\;40,\;45,\;50.
Informações já fornecidas:
\sum_{i=1}^{12} x_i = 335,\qquad \sum_{i=1}^{12} x_i^2 = 11241.
O enunciado pede:
(a) determinar a média, a mediana, a moda e o desvio padrão das quantidades de ácido;
(b) classificar a assimetria usando um coeficiente de assimetria;
(c) montar a tabela de distribuição de frequências com 3 intervalos de mesma amplitude;
(d) construir o histograma de proporção usando as classes do item (c);
(e) determinar a média e a mediana dos dados agrupados na tabela do item (c).

Passo 2

Cálculo da média aritmética. Explico a fórmula e o que é cada símbolo:
  • A média amostral \bar{x} é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações (aqui n=12) e x_i são as observações.
Aplicando ao caso:
\bar{x}=\frac{335}{12} = 27,916\overline{6}\\ (\text{mL})\approx 27,917\\ (\text{mL}).
Comentário prático: na prova calcule a fração exata \dfrac{335}{12} e, se precisar, arredonde conforme pedido.

Passo 3

Cálculo da mediana. Explico o conceito e o procedimento:
  • A mediana é o valor que deixa metade dos dados abaixo e metade acima. Para n par, é a média dos dois valores centrais da amostra ordenada.
    Ordenando os dados (já mostrei no Passo 1):
10,\;12,\;15,\;18,\;22,\;25,\;30,\;33,\;35,\;40,\;45,\;50.
Como n=12 (par), a mediana \tilde{x} é a média do 6^\text{o} e do 7^\text{o} valores:
\tilde{x}=\frac{25+30}{2}=27,5\\ (\text{mL}).

Passo 4

Determinar a moda. Explico:
  • A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Se nenhum valor se repete, diz-se que a amostra é amodal (sem moda).
    Observando os dados, nenhum valor aparece mais de uma vez. Portanto:
\text{moda: não existe (amodal)}.ã

Passo 5

Cálculo do desvio padrão (escolha do estimador). Explico as opções:
  • Existem duas definições comuns: desvio padrão populacional (dividir por n) e desvio padrão amostral (dividir por n-1). Em experimentos com amostras usa-se o desvio amostral. Vou usar o desvio amostral s, com fórmula baseada nas somas que temos:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 =\frac{1}{n-1}\Bigg(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2\Bigg).
Vou calcular passo a passo usando \sum x_i^2=11241, n=12 e \bar{x}=\dfrac{335}{12}.
Primeiro calcule n\bar{x}^2:
n\bar{x}^2 = 12\left(\frac{335}{12}\right)^2 = 12\cdot\frac{112225}{144} = \frac{112225}{12}=9352,083\overline{3}.
Agora a soma dos quadrados centrados:
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 11241 - 9352,083\overline{3} = 1888,916\overline{6}.
A variância amostral:
s^2 = \frac{1888,916\overline{6}}{11} = 171,719696\ldots
Portanto o desvio padrão amostral:
s=\sqrt{171,719696\ldots}\approx 13,104\\ (\text{mL}).
Comentário prático: na prova faça as contas na ordem indicada para evitar perda de precisão.

Passo 6

Escolha do coeficiente de assimetria e fórmula usada. Explico as opções e por que escolhi:
  • Há vários coeficientes (Pearson, momento amostral, Fisher-Pearson corrigido). Para uma interpretação rápida e didática usa-se frequentemente o coeficiente de Pearson:
\text{Assimetria de Pearson } S_P = \frac{3(\bar{x}-\tilde{x})}{s},
onde \bar{x} é a média, \tilde{x} a mediana e s o desvio padrão amostral. É fácil de calcular e dá uma indicação da direção da assimetria (positivo = cauda à direita, negativo = cauda à esquerda).
Vou usar S_P por ser simples e adequado para classificação rápida.

Passo 7

Cálculo do coeficiente de assimetria de Pearson com os valores já encontrados:
\bar{x}-\tilde{x}=27,916\overline{6}-27,5=0,416\overline{6}.
Logo
S_P=\frac{3(0,416\overline{6})}{13,104}\approx\frac{1,25}{13,104}\approx 0,0954.
Interpretação: S_P\approx 0,095 é um valor pequeno e positivo, indicando uma leve assimetria positiva (distribuição praticamente simétrica, com tendência muito fraca à direita).

Passo 8

Preparar as classes para a tabela de frequências com 3 intervalos de mesma amplitude. Explico como escolher:
  • A amplitude total (alcance) é \max-\min = 50-10 = 40.
  • Dividindo por 3 dá amplitude de classe h=\dfrac{40}{3}=13,\overline{3}.
    Vou então adotar as classes de limites:
\text{Classe 1: } 10 \le x < 23,333\overline{3},
\text{Classe 2: } 23,333\overline{3} \le x < 36,666\overline{6},
\text{Classe 3: } 36,666\overline{6} \le x \le 50.
Contagem de observações em cada classe (usando os valores listados no Passo 1):
  • Classe 1 contém 10,12,15,18,22 → frequência absoluta f_1=5.
  • Classe 2 contém 25,30,33,35 → frequência absoluta f_2=4.
  • Classe 3 contém 40,45,50 → frequência absoluta f_3=3.
    Verificação: f_1+f_2+f_3=5+4+3=12, ok.

Passo 9

Montar a tabela de frequências (incluindo proporções). Explico as colunas e como calcular:
  • Proporção (frequência relativa) p_i=\dfrac{f_i}{n}.
    Calculando:
p_1=\frac{5}{12}\approx 0,4167,\qquad p_2=\frac{4}{12}=0,3333,\qquad p_3=\frac{3}{12}=0,25.
Tabela (resumida):
  • 10 \le x < 23,333\overline{3}: f_1=5, p_1=0,4167.
  • 23,333\overline{3} \le x < 36,666\overline{6}: f_2=4, p_2=0,3333.
  • 36,666\overline{6} \le x \le 50: f_3=3, p_3=0,25.

Passo 10

Construir o histograma de proporção (descrição textual do histograma, pois não posso desenhar). Explico o que significa “histograma de proporção”:
  • Como as classes têm mesma amplitude, um histograma de proporção pode mostrar cada barra com altura igual à proporção p_i. (Se fosse histograma de densidade, a altura seria p_i/h.)
    Descrição do histograma de proporção usando as classes do Passo 8:
  • Barra 1: sobre o intervalo [10,\;23,333\overline{3}) com altura 0,4167.
  • Barra 2: sobre o intervalo [23,333\overline{3},\;36,666\overline{6}) com altura 0,3333.
  • Barra 3: sobre o intervalo [36,666\overline{6},\;50] com altura 0,25.
    Observação prática para prova: desenhe o eixo horizontal de 10 a 50, marque as fronteiras e desenhe as barras com essas alturas; como as barras têm a mesma largura, a visualização mostra claramente as proporções.

Passo 11

Cálculo da média dos dados agrupados (média por classes) explicando a técnica:
  • Para dados agrupados em classes, usa-se a média aproximada substituindo cada valor da classe pelo ponto médio m_i da classe e calculando \bar{x}_{\text{agr}}=\dfrac{1}{n}\sum f_i m_i.
    Calcular os pontos médios:
m_1=\frac{10+23,333\overline{3}}{2}=16,666\overline{6},
m_2=\frac{23,333\overline{3}+36,666\overline{6}}{2}=30,
m_3=\frac{36,666\overline{6}+50}{2}=43,333\overline{3}.
Multiplicando por frequências:
f_1 m_1 = 5\cdot 16,666\overline{6}=83,333\overline{3},
f_2 m_2 = 4\cdot 30 = 120,
f_3 m_3 = 3\cdot 43,333\overline{3}=129,999\overline{9}.
Somando:
\sum f_i m_i \approx 83,333\overline{3}+120+129,999\overline{9}=333,333\overline{3}.
Portanto a média agrupada:
\bar{x}_{\text{agr}}=\frac{333,333\overline{3}}{12}=27,777\overline{7}\\ (\text{mL})\approx 27,778\\ (\text{mL}).
Comentário: a média agrupada é uma aproximação que depende do critério de construção das classes; aqui fica bem próxima da média exata 27,917.

Passo 12

Cálculo da mediana por interpolação na tabela agrupada. Explico a fórmula:
  • Para classe mediana, usa-se a fórmula de interpolação linear:
\tilde{x}_{\text{agr}} = L + \frac{\frac{n}{2}-F}{f_{\text{med}}}\,h,
onde L é o limite inferior da classe mediana, F é a frequência acumulada antes da classe mediana, f_{\text{med}} é a frequência da classe mediana, h é a amplitude da classe e n o total de observações.
Aqui n/2=6. A classe que contém a posição 6 é a classe 2 (porque a frequência acumulada até a classe 1 é 5, que é menor que 6; adicionando a classe 2 chegamos a 9 que ultrapassa 6). Portanto:
L=23,333\overline{3},\quad F=5,\quad f_{\text{med}}=4,\quad h=13,\overline{3}.
Aplicando:
\tilde{x}_{\text{agr}} = 23,333\overline{3} + \frac{6-5}{4}\cdot 13,\overline{3} =23,333\overline{3} + \frac{1}{4}\cdot 13,\overline{3} =23,333\overline{3} + 3,333\overline{3} = 26,666\overline{6}.
Assim a mediana agrupada é aproximadamente 26,667 mL.

Resposta

(a) Média: \bar{x}=\dfrac{335}{12}=27,916\overline{6}\\ \text{mL}\approx 27,917\\ \text{mL}.
(a) Mediana: \tilde{x}=27,5\\ \text{mL}.
(a) Moda: não existe (amodal).
(a) Desvio padrão (amostral): s\approx 13,104\\ \text{mL}.
(b) Coeficiente de assimetria de Pearson: S_P=\dfrac{3(\bar{x}-\tilde{x})}{s}\approx 0,095. Classificação: distribuição praticamente simétrica com ligeira assimetria positiva.
(c) Tabela de frequências com 3 classes de mesma amplitude ( h=13,\overline{3}):
10 \le x < 23,333\overline{3}:\\ f_1=5,\\ p_1=\tfrac{5}{12}\approx0,4167;
23,333\overline{3} \le x < 36,666\overline{6}:\\ f_2=4,\\ p_2=\tfrac{4}{12}=0,3333;
36,666\overline{6} \le x \le 50:\\ f_3=3,\\ p_3=\tfrac{3}{12}=0,25.
(d) Histograma de proporção (descrição): três barras sobre os intervalos acima, com alturas iguais às proporções 0,4167,\\\ 0,3333,\\\ 0,25, respetivamente (largura de cada barra =13,\overline{3}).
(e) Média dos dados agrupados: \bar{x}_{\text{agr}}\approx 27,777\overline{7}\\ \text{mL}\approx 27,778\\ \text{mL}.
(e) Mediana dos dados agrupados (por interpolação): \tilde{x}_{\text{agr}}\approx 26,666\overline{6}\\ \text{mL}\approx 26,667\\ \text{mL}.

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