(1,0 Extra) Um engenheiro elétrico está projetando um circuito com 4 tipos de componentes: resistores ®, capacitores (C), indutores (L) e diodos (D). Ele deseja montar um circuito usando um total de 5 componentes, e ele pode usar o mesmo tipo de componente várias vezes. De quantas maneiras diferentes ele pode escolher os 5 componentes, considerando que pode usar o mesmo tipo mais de uma vez??
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente isto:
- Tipos de componentes disponíveis: resistor ®, capacitor (C), indutor (L) e diodo (D). Ou seja, há
tipos distintos. - O circuito deve ter um total de
componentes. - É permitido usar o mesmo tipo de componente mais de uma vez (repetições autorizadas).
A pergunta é: de quantas maneiras diferentes pode-se escolher oscomponentes, considerando que repetir tipos é permitido?
Observação importante para a interpretação: aqui vamos entender “de quantas maneiras escolher” no sentido de combinação sem ordem — isto é, só importa quantos de cada tipo são usados, não a ordem em que aparecem no circuito.
Passo 2
Modelagem do problema com variáveis (passo pedagógico):
Defina variáveis que contam quantos componentes de cada tipo são usados:
Defina variáveis que contam quantos componentes de cada tipo são usados:
-
= número de resistores ® usados, -
= número de capacitores (C) usados, -
= número de indutores (L) usados, -
= número de diodos (D) usados.
Como o total de componentes é
, essas variáveis satisfazem a equação
com a restrição de que cada
é um inteiro não negativo:
Explicação didática: cada solução inteira não negativa dessa equação corresponde exatamente a uma escolha possível de quantos componentes de cada tipo usar. Por exemplo,
significa 3 resistores, 1 capacitor, 1 indutor e 0 diodos — uma escolha válida.
Passo 3
Como contar o número de soluções inteiras não negativas da equação? Vou ensinar um método visual e intuitivo muito usado (o argumento das “estrelas e barras”):
- Imagine representar os
componentes como estrelas: . - Para separar as quantidades dos
tipos, colocam-se barras divisórias entre as categorias. Por exemplo, a configuração pode ser escrita como
Aqui cada bloco de estrelas entre barras conta quantos de cada tipo.
No total, temos estrelas e
barras, ou seja,
símbolos em linha. Cada disposição distinta dessas
posições (escolhendo quais
são barras e quais
são estrelas) corresponde a uma solução distinta
.
No total, temos
Passo 4
Contagem combinatória do arranjo de estrelas e barras:
Para formar uma configuração basta escolher as posições das barras entre as
posições totais. O número de maneiras de escolher as posições das barras é o número binomial
Para formar uma configuração basta escolher as posições das
Explicando a fórmula usada:
é o número de maneiras de escolher
posições entre
disponíveis, sem ordem. Aqui
posições totais e
barras.
Passo 5
Cálculo do valor numérico passo a passo:
Calculemos usando a definição em fatores:
Calculemos
Agora simplificando:
então
Portanto existem
escolhas diferentes de quantidades dos
tipos que somam
.
Passo 6
Um pequeno exemplo concreto para fixar: algumas das
configurações são
Cada uma dessas corresponde a uma disposição distinta de estrelas e barras no método visual.
Resposta
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