(1,0 Extra) Um engenheiro elétrico está projetando um circuito com 4 tipos de componentes: resistores ®, capacitores (C), indutores (L) e diodos (D). Ele deseja montar um circuito usando um total de 5 componentes, e ele pode usar o mesmo tipo de componente várias vezes. De quantas maneiras diferentes ele pode escolher os 5 componentes, considerando que pode usar o mesmo tipo mais de uma vez??

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente isto:
  • Tipos de componentes disponíveis: resistor ®, capacitor (C), indutor (L) e diodo (D). Ou seja, há 4 tipos distintos.
  • O circuito deve ter um total de 5 componentes.
  • É permitido usar o mesmo tipo de componente mais de uma vez (repetições autorizadas).
    A pergunta é: de quantas maneiras diferentes pode-se escolher os 5 componentes, considerando que repetir tipos é permitido?
    Observação importante para a interpretação: aqui vamos entender “de quantas maneiras escolher” no sentido de combinação sem ordem — isto é, só importa quantos de cada tipo são usados, não a ordem em que aparecem no circuito.

Passo 2

Modelagem do problema com variáveis (passo pedagógico):
Defina variáveis que contam quantos componentes de cada tipo são usados:
  • x_1 = número de resistores ® usados,
  • x_2 = número de capacitores (C) usados,
  • x_3 = número de indutores (L) usados,
  • x_4 = número de diodos (D) usados.
Como o total de componentes é 5, essas variáveis satisfazem a equação
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 5,
com a restrição de que cada x_i é um inteiro não negativo:
x_i \in \{0,1,2,\dots\}\quad\text{para }i=1,2,3,4.
Explicação didática: cada solução inteira não negativa dessa equação corresponde exatamente a uma escolha possível de quantos componentes de cada tipo usar. Por exemplo, (x_1,x_2,x_3,x_4)=(3,1,1,0) significa 3 resistores, 1 capacitor, 1 indutor e 0 diodos — uma escolha válida.

Passo 3

Como contar o número de soluções inteiras não negativas da equação? Vou ensinar um método visual e intuitivo muito usado (o argumento das “estrelas e barras”):
  • Imagine representar os 5 componentes como 5 estrelas: \star\star\star\star\star.
  • Para separar as quantidades dos 4 tipos, colocam-se 3 barras divisórias entre as categorias. Por exemplo, a configuração (3,1,1,0) pode ser escrita como
\star\star\star \,|\, \star \,|\, \star \,|\, .
Aqui cada bloco de estrelas entre barras conta quantos de cada tipo.
No total, temos 5 estrelas e 3 barras, ou seja, 5+3=8 símbolos em linha. Cada disposição distinta dessas 8 posições (escolhendo quais 3 são barras e quais 5 são estrelas) corresponde a uma solução distinta (x_1,x_2,x_3,x_4).

Passo 4

Contagem combinatória do arranjo de estrelas e barras:
Para formar uma configuração basta escolher as posições das 3 barras entre as 8 posições totais. O número de maneiras de escolher as posições das barras é o número binomial
\binom{8}{3}.
Explicando a fórmula usada: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k posições entre n disponíveis, sem ordem. Aqui n=8 posições totais e k=3 barras.

Passo 5

Cálculo do valor numérico passo a passo:
Calculemos \binom{8}{3} usando a definição em fatores:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}.
Agora simplificando:
8\cdot7\cdot6 = 336, \qquad 3\cdot2\cdot1 = 6,
então
\binom{8}{3}=\frac{336}{6}=56.
Portanto existem 56 escolhas diferentes de quantidades dos 4 tipos que somam 5.

Passo 6

Um pequeno exemplo concreto para fixar: algumas das 56 configurações são
(5,0,0,0),\quad (4,1,0,0),\quad (3,2,0,0),\quad (3,1,1,0),\quad (2,1,1,1),\\ \text{etc.}
Cada uma dessas corresponde a uma disposição distinta de estrelas e barras no método visual.

Resposta

56

Exercícios relacionados