Para uma pesquisa de boca de urna de pessoas que votaram em uma eleição governamental, 40 % votaram em A e 60 % em B. Assumindo que essa é uma amostra aleatória de todos os eleitores, construa um intervalo de 99 % de confiança para a proporção de votos que A recebeu se o tamanho da amostra foi de: a) 400 e b) 40 . Em cada caso, indique se você estaria disposto a prever o vencedor. Explique como e por que o tamanho da amostra afeta a inferência.

Passo 1

O enunciado trata de estimar a proporção de votos em A a partir de uma amostra aleatória, com proporção amostral hat p = 0,40. Precisamos construir intervalos de confiança de 99% para a proporção verdadeira p quando o tamanho da amostra é (a) n=400 e (b) n=40, e então decidir se há precisão para prever o vencedor.

Passo 2

Para proporções, o intervalo de confiança de nível 1-alpha é dado por
hat p pm z,alpha/2,raizhat p(1-hat p)n,
onde z,alpha/2 é o valor crítico da distribuição normal padrão. Para 99% de confiança, alpha=0,01 e z,0,005approx 2,5758.

Passo 3

No caso n=400:
— Calcule o erro padrão:
raizhat p(1-hat p)n = raiz0,4cdot 0,6400 = raiz0,0006 approx 0,02450
— A margem de erro é
E = 2,5758 times 0,02450 approx 0,0631
— Logo o intervalo de 99% é
0,40 pm 0,0631 ;longrightarrow; (0,3369,;0,4631)
Como esse intervalo fica totalmente abaixo de 0,50, indicamos que B está à frente e podemos prever o vencedor com segurança.

Passo 4

No caso n=40:
— Erro padrão:
raiz0,4cdot 0,640 = raiz0,006 approx 0,07746
— Margem de erro:
E = 2,5758 times 0,07746 approx 0,1996
— Intervalo de 99%:
0,40 pm 0,1996 ;longrightarrow; (0,2004,;0,5996)
Aqui o intervalo cruza 0,50, ou seja, não podemos afirmar com 99% de confiança quem vence.

Passo 5

O tamanho da amostra aparece dentro da raiz do erro padrão raizhat p(1-hat p)/n. Quanto maior n, menor esse erro e, portanto, mais estreito o intervalo de confiança. Assim, amostras grandes permitem decisões mais precisas sobre o vencedor; amostras pequenas geram incerteza maior e intervalos largos que podem incluir a proporção 0,50.

Resposta

a) Para n=400, o intervalo de 99% é (0,3369,;0,4631). Dá para prever que B vence.
b) Para n=40, o intervalo de 99% é (0,2004,;0,5996). Não dá para prever o vencedor.

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