(2,0) Uma pesquisa foi realizada para avaliar a eficácia de uma nova campanha de conscientização sobre a importância do uso de máscaras em ambientes fechados. Foram entrevistadas 1.200 pessoas em uma grande cidade, e dessas, 780 afirmaram que, após a campanha, passaram a utilizar máscaras com maior frequência.
Calcule um intervalo de confiança de 95% para a proporção de pessoas que passaram a utilizar máscaras com maior frequência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre estimar um intervalo de confiança de 95% para a proporção de pessoas que, depois de uma campanha, começaram a usar máscara com mais frequência. Isso cai em Estatística, mais especificamente em inferência sobre proporções. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Calcular a proporção amostral hat p.
  2. Saber o valor crítico z para 95%.
  3. Calcular o erro padrão da proporção.
  4. Montar o intervalo usando a fórmula
hat p pm zalpha/2,raizhat p(1 - hat p)n,

Passo 2

Primeiro, a proporção amostral hat p é simplesmente o número de “sucessos” dividido pelo tamanho da amostra. Aqui:
hat p = 7801200 = 0,65,

Passo 3

Para 95% de confiança, o valor crítico da distribuição normal padrão é
zalpha/2 = z0,975 approx 1,96,
Agora, vamos ao erro padrão (EP) de hat p, que mede a variabilidade da proporção na amostra:
EP = raizhat p,(1 - hat p)n = raiz0,65 times 0,351200,

Passo 4

Calculando o erro padrão de verdade:
EP = raiz0,65 times 0,351200 = raiz0,22751200 approx 0,01376,
Aí o erro máximo permitido (margem de erro) é
E = zalpha/2times EP = 1,96 times 0,01376 approx 0,02695,

Passo 5

Finalmente, montamos o intervalo de confiança:
hat p pm E = 0,65 pm 0,02695,
Isso dá:
Limite inferior: 0,65 - 0,02695 = 0,62305
Limite superior: 0,65 + 0,02695 = 0,67695

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção está aproximadamente entre 0,623 e 0,677 (ou 62,3% a 67,7%).

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