Uma amostra aleatória de 200 livros de uma biblioteca revelou que
deles tinha pelo menos uma página danificada. Existe evidência que permita concluir que a proporção de livros danificados na biblioteca é maior do que 0,10 ? Use nível de significância
.
Passo 1
Beleza, então vamos lá. O enunciado diz que numa amostra de 200 livros, 15% vinham com pelo menos uma página danificada. Queremos saber se, na biblioteca inteira, a proporção de livros danificados é maior que 10% (0,10), usando nível de significância α=0,05.
Conteúdo: teste de hipótese para proporção, usando aproximação normal.
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: teste de hipótese para proporção, usando aproximação normal.
O que a gente vai precisar:
- Formular as hipóteses nula e alternativa.
- Calcular a estimativa da proporção amostral
. - Verificar as condições para usar a normal (np e n(1−p) ≥ 5).
- Calcular o valor do teste
. - Comparar com o valor crítico de
ou achar o p-valor.
Passo 2
Hipóteses:
H₀: (a proporção real é 10%)
H₁: (a proporção real é maior que 10%)
H₀:
H₁:
É um teste unilateral à direita, porque a gente quer saber se é “maior que”.
Passo 3
Estimativa amostral:
.
Condições para usar a normal:
e
.
Como ambos são maiores que 5, podemos usar a aproximação normal.
Como ambos são maiores que 5, podemos usar a aproximação normal.
Passo 4
Fórmula do valor do teste
:
Substituindo:
Passo 5
Valor crítico: para α = 0,05 num teste unilateral à direita,
.
Como é maior que
, a estatística cai na região de rejeição.
Como
Passo 6
Conclusão: rejeitamos H₀. Isso significa que, com nível de significância 5%, há evidência suficiente para dizer que a proporção de livros danificados na biblioteca é maior que 10%.
Resposta
Sim. O valor-z calculado é aproximadamente
, maior que o crítico
. Logo, há evidência de que a proporção real de livros danificados excede 0,10.