Uma amostra aleatória de 200 livros de uma biblioteca revelou que 15 % deles tinha pelo menos uma página danificada. Existe evidência que permita concluir que a proporção de livros danificados na biblioteca é maior do que 0,10 ? Use nível de significância alpha=0,05.

Passo 1

Beleza, então vamos lá. O enunciado diz que numa amostra de 200 livros, 15% vinham com pelo menos uma página danificada. Queremos saber se, na biblioteca inteira, a proporção de livros danificados é maior que 10% (0,10), usando nível de significância α=0,05.
Conteúdo: teste de hipótese para proporção, usando aproximação normal.
O que a gente vai precisar:
  • Formular as hipóteses nula e alternativa.
  • Calcular a estimativa da proporção amostral .
  • Verificar as condições para usar a normal (np e n(1−p) ≥ 5).
  • Calcular o valor do teste .
  • Comparar com o valor crítico de ou achar o p-valor.

Passo 2

Hipóteses:
H₀: (a proporção real é 10%)
H₁: (a proporção real é maior que 10%)
É um teste unilateral à direita, porque a gente quer saber se é “maior que”.

Passo 3

Estimativa amostral:
ú.
Condições para usar a normal:
e
.
Como ambos são maiores que 5, podemos usar a aproximação normal.

Passo 4

Fórmula do valor do teste z = hat p - p0raizp0 (1 - p0)n :
z = 0,15 - 0,10raiz0,10 times 0,90200 = 0,05raiz0,09200 = 0,05raiz0,00045 approx 0,050,02121 approx 2,36
Substituindo:

Passo 5

Valor crítico: para α = 0,05 num teste unilateral à direita,
.
Como é maior que , a estatística cai na região de rejeição.

Passo 6

Conclusão: rejeitamos H₀. Isso significa que, com nível de significância 5%, há evidência suficiente para dizer que a proporção de livros danificados na biblioteca é maior que 10%.

Resposta

Sim. O valor-z calculado é aproximadamente , maior que o crítico . Logo, há evidência de que a proporção real de livros danificados excede 0,10.

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