Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar se existe associação entre a falta de sono e a capacidade de as pessoas resolverem problemas simples. Foram testadas 10 pessoas, mantendo-se sem dormir por um determinado número de horas. Após cada um destes períodos, cada pessoa teve de resolver um teste com adições simples, anotando-se então os erros cometidos. Os dados resultantes são os seguintes:
Número de erros 6 8 6 10 8 14 12 14 12 16
Número de horas sem
dormir
8 8 12 12 16 16 20 20 24 24
a) Calcule o coeficiente de correlação linear e interprete
b) Ajuste e interprete o modelo de regressão linear simples
O gerente de uma indústria localizada em um país tropical suspeita que há uma correlação entre temperatura do dia e produtividade. Dados coletados aleatoriamente ao longo de um período de seis meses revelaram o seguinte:
Obs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Temperatura 21,2 20,3 22,7 22 22,3 23,5 24,8 24,2 25,5 25,2 25,5 25,8
Produtividade 142 148 131 132 145 138 144 136 141 124 133 128
Obs. 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Temperatura 27,5 26,3 28,2 28,6 29 29,7 30,7 30,3 30,2 31,4 32,5 32,7
Produtividade 132 137 124 117 122 131 124 111 119 129 123 116
Calcule o coeficiente de correlação entre temperatura e a produtividade e interprete-o

Passo 1

Parte (a): temos dez pares (x_i,y_i) em que x_i é o número de horas sem dormir e y_i é o número de erros. Queremos calcular o coeficiente de correlação linear e ajustar o modelo de regressão simples y=\beta_0+\beta_1x.

Passo 2

Calculam-se as médias
\bar x=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_i=16,\qquad \bar y=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}y_i=10{,}6.
Calculam-se as somas de quadrados e de produtos centrados:
SS_x=\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)^2=320,\quad SS_y=\sum_{i=1}^{10}(y_i-\bar y)^2=112{,}4,\quad SP=\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=152.
Logo o coeficiente de correlação é
r=\frac{SP}{\sqrt{SS_x\,SS_y}} \approx\frac{152}{\sqrt{320\cdot112{,}4}}\approx0{,}802.

Passo 3

Para a regressão, as estimativas ficam
\beta_1=\frac{SP}{SS_x}=\frac{152}{320}=0{,}475, \qquad \beta_0=\bar y-\beta_1\bar x=10{,}6-0{,}475\cdot16=3{,}0.
O modelo ajustado é
\hat y=3{,}0+0{,}475\,x.

Passo 4

Parte (b): temos 24 pares (x_i,y_i) em que x_i é a temperatura e y_i é a produtividade. Queremos apenas o coeficiente de correlação. Calculam-se \sum x_i=640{,}1, \sum y_i=3127, \sum x_i^2=17380{,}57, \sum y_i^2=409671, \sum x_i y_i=82755{,}6. Em seguida,
r=\frac{24\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)} {\sqrt{\bigl(24\sum x_i^2-(\sum x_i)^2\bigr)\,\bigl(24\sum y_i^2-(\sum y_i)^2\bigr)}} \approx-0{,}773.

Resposta

a) r\approx0,802 (forte correlação positiva).
b) \hat y=3{,}0+0{,}475\,x, ou seja, cada hora sem dormir acrescenta em média 0,475 erros (intercepto 3 erros).
c) r\approx-0,773 (forte correlação negativa entre temperatura e produtividade).

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