Um supermercado vende uma caixa com 20 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas e as restantes boas. Um comprador decide testar 5 das lâmpadas (obviamente sem reposição) escolhidas ao acaso e comprar a caixa caso haja no máximo duas defeituosas entre as lâmpadas testadas. Quais são a função probabilidade, esperança e variância do número de itens defeituosos? Qual é a probabilidade de comprar a caixa?

Passo 1

O enunciado diz que numa caixa com N=20 lâmpadas há K=4 defeituosas e N-K=16 boas. Seleciona-se sem reposição uma amostra de tamanho n=5 e define-se a variável aleatória X igual ao número de lâmpadas defeituosas na amostra. Como estamos contando “sucessos” (defeituosas) em uma amostra sem reposição, X segue distribuição hipergeométrica. Vamos obter a função massa de probabilidade (pmf), a esperança E[X], a variância \mathrm{Var}(X) e a probabilidade de comprar a caixa, isto é, \Pr(X\le2).

Passo 2

Para k=0,1,2,3,4 temos
P(X=k) =\frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}} =\frac{\binom{4}{k}\,\binom{16}{5-k}}{\binom{20}{5}}.

Passo 3

A esperança de uma hipergeométrica é
E[X] =n\frac{K}{N} =5\cdot\frac{4}{20} =1.

Passo 4

A variância de uma hipergeométrica é
\mathrm{Var}(X) =n\frac{K}{N}\Bigl(1-\frac{K}{N}\Bigr)\frac{N-n}{N-1} =5\cdot\frac{4}{20}\cdot\frac{16}{20}\cdot\frac{20-5}{19} = \frac{12}{19}\approx0{,}6316.

Passo 5

A probabilidade de comprar a caixa é
\Pr(X\le2) =\sum_{k=0}^{2}P(X=k) =\frac{\binom{4}{0}\binom{16}{5}+\binom{4}{1}\binom{16}{4}+\binom{4}{2}\binom{16}{3}}{\binom{20}{5}} =\frac{4368+7280+3360}{15504} =\frac{15008}{15504}\approx0{,}9677.

Resposta

Função de probabilidade:
P(X=k) =\frac{\binom{4}{k}\,\binom{16}{5-k}}{\binom{20}{5}},\quad k=0,1,2,3,4.
Esperança: E[X]=1.
Variância: \mathrm{Var}(X)=\tfrac{12}{19}\approx0{,}6316.
Probabilidade de comprar a caixa: \Pr(X\le2)=\tfrac{15008}{15504}\approx0{,}9677.

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