Questão 10 -

Um gerente de banco tem que decidir se concede ou não empréstimo aos clientes que o solicitam. Ele analisa diversos dados para estudar a possibilidade de o cliente vir a inadimplente. Com base em dados passados, ele estima em 12% a taxa de inadimplência. Dentre os inadimplentes, ele tem 85 \% de chance de tomar a decisão certa, enquanto essa chance aumenta para 95% entre os clientes adimplentes. Esse gerente acaba de recusar um empréstimo. Qual é a probabilidade de ele ter tomado a decisão incorreta?

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de inadimplência estimada em 12\%, ou seja
P(\text{inadimplente}) = 0,12,
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P(\text{adimplente}) = 1 - 0,12 = 0,88.
Sabemos também que, entre os inadimplentes, o gerente toma a decisão certa com probabilidade 85\%, isto é
P(\text{recusar}\mid \text{inadimplente}) = 0,85,
e entre os adimplentes ele acerta com probabilidade 95\%, portanto
P(\text{conceder}\mid \text{adimplente}) = 0,95 \quad\Longrightarrow\quad P(\text{recusar}\mid \text{adimplente}) = 0,05.
O gerente acabou de recusar um empréstimo. Queremos a probabilidade de que essa recusa tenha sido um erro, ou seja,
P\bigl(\text{decisão incorreta}\mid \text{recusar}\bigr) = P\bigl(\text{adimplente}\mid \text{recusar}\bigr).ã

Passo 2

Aplicamos a regra de Bayes para calcular
P\bigl(\text{adimplente}\mid \text{recusar}\bigr) = \frac{P(\text{adimplente})\,P(\text{recusar}\mid \text{adimplente})} {P(\text{recusar})}.
Precisamos, então, de P(\text{recusar}), que é a probabilidade total de recusar:

Passo 3

Usando a fórmula da probabilidade total,
P(\text{recusar}) = P(\text{inadimplente})\,P(\text{recusar}\mid \text{inadimplente}) + P(\text{adimplente})\,P(\text{recusar}\mid \text{adimplente}).
Substituindo os valores:
P(\text{recusar}) = 0,12 \times 0,85 \;+\; 0,88 \times 0,05 = 0,102 \;+\; 0,044 = 0,146.

Passo 4

Agora voltamos a Bayes:
P\bigl(\text{adimplente}\mid \text{recusar}\bigr) = \frac{0,88 \times 0,05}{0,146} = \frac{0,044}{0,146} \approx 0,30137.

Resposta

A probabilidade de ele ter tomado a decisão incorreta é aproximadamente 30{,}14\%.

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