Um supermercado vende uma caixa com 20 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas e as restantes boas. Um comprador decide testar 5 das lâmpadas (obviamente sem reposição) escolhidas ao acaso e comprar a caixa caso haja no máximo duas defeituosas entre as lâmpadas testadas. Quais são a função probabilidade, esperança e variância do número de itens defeituosos? Qual é a probabilidade de comprar a caixa?
Passo 1
O enunciado diz que numa caixa com
lâmpadas há
defeituosas e
boas. Seleciona-se sem reposição uma amostra de tamanho
e define-se a variável aleatória
igual ao número de lâmpadas defeituosas na amostra. Como estamos contando “sucessos” (defeituosas) em uma amostra sem reposição,
segue distribuição hipergeométrica. Vamos obter a função massa de probabilidade (pmf), a esperança
, a variância
e a probabilidade de comprar a caixa, isto é,
.
Passo 2
Para
temos
Passo 3
A esperança de uma hipergeométrica é
Passo 4
A variância de uma hipergeométrica é
Passo 5
A probabilidade de comprar a caixa é
Resposta
Função de probabilidade:
Esperança:
.
Variância: .
Probabilidade de comprar a caixa: .
Variância:
Probabilidade de comprar a caixa: