Numa pesquisa foram medidos os teores de alumínio em diversos solos onde é cultivado soja anotando-se suas respectivas produtividades. Foram obtidos os seguintes resultados:
14 15 23 31 38 40 53 51
2,0 4,6 5,7 7,3 9,8 10,9 12,6 13,2
Sendo
X-teor de alumínio cc de solo;
Y - produtividade de soja em tha.
a) Faça o diagrama de dispersão dos dados;
b) Obtenha o coeficiente de correlação e verifique se a correlação é significativa;
c) Estime a equação de regressão que se ajusta aos dados;
d) Obtenha uma previsão para o teor de alumínio igual a 20.

Passo 1

O enunciado nos dá oito pares de observações (Xi,Yi), em que X é o teor de alumínio (mE/100 cc) e Y é a produtividade de soja (tha). O que se pede é:
– (a) diagrama de dispersão;
– (b) coeficiente de correlação de Pearson e teste de significância;
– (c) equação de regressão linear de Y sobre X;
– (d) previsão de Y para X=20.

Passo 2

Para fazer o diagrama de dispersão, colocamos X no eixo horizontal e Y no eixo vertical e marcamos os pontos
(14,2,0),;(15,4,6),;(23,5,7),;(31,7,3),;(38,9,8),;(40,10,9),;(53,12,6),;(51,13,2)
O nuvem de pontos mostra uma forte tendência crescente, indicando correlação positiva.

Passo 3

Calculamos os somatórios necessários:
sum X =265, sum Y =66,1,
sum X^2=10365, sum Y^2=658,79, sum XY=2603,8,
bar X=2658=33,125, bar Y=66,18=8,2625

Passo 4

O coeficiente de correlação de Pearson é
r=nsum XY - (sum X)(sum Y)raizl(nsum X^2-(sum X)^2r),l(nsum Y^2-(sum Y)^2r) =8cdot2603,8 -265cdot66,1raiz(8cdot10365-265^2)(8cdot658,79-66,1^2)approx0,978
Para testar a significância, usamos
t = rraizn-21-r^2 approx0,978raiz61-0,978^2approx11,41
Com 6 graus de liberdade, t0,05;6=2,447. Como 11,41>2,447, rejeita-se H0colonrho=0 e a correlação é significativa.

Passo 5

Os coeficientes da reta de regressão hat Y=a+bX são
b=8cdot2603,8 -265cdot66,18cdot10365-265^2approx0,2612,
a=bar Y - b,bar X =8,2625 -0,2612times33,125approx -0,392
Logo
hat Y = -0,392 +0,2612,X

Passo 6

Para X=20, a previsão é
hat Y(20) = -0,392 +0,2612times20 approx4,83

Resposta

a) Diagrama de dispersão conforme descrito no Passo 2.
b) rapprox0,978, correlação positiva e significativa ( tapprox11,41>2,447).
c) hat Y = -0,392 +0,2612,X.
d) Para X=20, hat Y(20)approx4,83 tha.

Exercícios relacionados