Numa pesquisa de mercado bem conduzida, 57 dentre 150 entrevistados afirmaram que seriam compradores de certo produto a ser lançado. Sendo a população de compradores em potencial formada por 2000 elementos, qual o número mínimo de pessoas que comprarão o produto, com precisão de 95%.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma pesquisa de mercado em que:
  • entrevistaram 150 pessoas, e 57 disseram que vão comprar o produto;
  • a “população” total de compradores em potencial é de 2000.
    O assunto é Estatística Inferencial, mais especificamente intervalo de confiança para proporção em população finita.
    Para resolver, vamos precisar de:
  1. Calcular a proporção amostral .
  2. Saber o desvio-padrão (erro padrão) dessa proporção, incluindo a correção para população finita.
  3. Montar o intervalo de confiança de 95% usando a distribuição normal ( ).
  4. Transformar esse intervalo em número de pessoas (multiplicar pelos 2000).

Passo 2

Primeiro, a proporção amostral hat p = 57150 , é simplesmente
hat p = 0,38
Vamos calcular isso:
Isso significa que, na amostra, 38% das pessoas disseram que comprariam.

Passo 3

Agora o erro padrão da proporção. Se fosse população infinita, seria
raizhat p,(1 - hat p)n
Mas como a população é finita (2000) e a amostra relativamente grande (150), a gente aplica a Correção para População Finita (CPF):
CPF = raizN - nN - 1 com N=2000,;n=150
Calculemos os pedaços:
hat p(1-hat p) = 0,38 times 0,62 = 0,2356,
hat p(1-hat p)n = 0,2356150 approx 0,0015707,
CPF = raiz2000 - 1502000 - 1 = raiz18501999 approx 0,962
Então o erro padrão corrigido é
SE = raiz0,2356150;times 0,962 approx 0,0396 times 0,962 approx 0,0381

Passo 4

Pra montar o intervalo de confiança de 95% usamos hat p pm z times SE :
0,38 - 1,96 times 0,0381 approx 0,38 - 0,0747 approx 0,3053
O limite inferior da proporção é
Então, com 95% de certeza, pelo menos cerca de 30,53% da população comprará o produto.

Passo 5

Por fim, a gente quer o número mínimo de pessoas (não a proporção), multiplicando pelo total 2000 times 0,3053 approx 610,6 :
Como não dá pra ter “0,6” pessoa, arredonda pra cima (a gente quer o mínimo garantido): 611 pessoas.

Resposta

Com 95% de confiança, no mínimo 611 pessoas comprarão o produto.

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