As resistências de dois tipos de concreto, que segue o modelo normal, foram medidas, mostrando os resultados da tabela. Fixado um nível de significância de 10%, existem evidências de que o concreto do tipo X seja mais resistente do que o concreto do tipo Y?
TIPO X 54 55 58 50 61
TIPO Y 51 54 55 52 53

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem duas amostras pequenas (n=5 em cada) de resistência de concreto, sendo uma do tipo X e outra do tipo Y. O modelo é normal e o nível de significância é 10%. Queremos saber se há evidências de que o concreto X seja mais resistente que o Y.
Conteúdo: inferência estatística – teste de hipóteses para diferença de médias de duas populações normais com variâncias desconhecidas (assumidas iguais).
O que vamos precisar:
  1. Formular hipóteses nula e alternativa.
  2. Calcular média e variância de cada amostra.
  3. Calcular a variância agrupada (pooled) e o estatístico t.
  4. Comparar com o valor crítico de t para α=0,10 (teste unilateral à direita).

Passo 2

Hipóteses e nível:
H₀: μₓ ≤ μᵧ (não há diferença ou X não é mais resistente)
H₁: μₓ > μᵧ (X é mais resistente)
Significância α = 0,10.
Como as variâncias são desconhecidas mas assumimos iguais, vamos usar o t-teste com variância agrupada e graus de liberdade ν = n₁ + n₂ − 2 = 8.

Passo 3

Calcular médias e variâncias amostrais:
Para X = {54,55,58,50,61},
média:
bar x = 54+55+58+50+615 = 2785 = 55,6
variância:
Sx^2 = sum (xi - bar x)^2n1-1 = (54-55,6)^2 + cdots + (61-55,6)^24 = 17,3
Para Y = {51,54,55,52,53},
bar y = 51+54+55+52+535 = 53, Sy^2 = (51-53)^2 + cdots + (53-53)^24 = 2,5

Passo 4

Variância agrupada e estatístico:
Sp^2 = (n1-1)Sx^2 + (n2-1)Sy^2n1+n2-2 = 4cdot17,3 + 4cdot2,58 = 9,9, Sp = raiz9,9 approx 3,146
O t calculado é
t = bar x - bar ySpraiz1n1+1n2 = 55,6 - 533,146raiztfrac15+tfrac15 = 2,63,146cdotraiz0,4 approx 1,31
O valor crítico para α=0,10 e ν=8 (unilateral à direita) é
t0,10;8 approx 1,397
Como 1,31 < 1,397, não rejeitamos H₀.

Resposta

Não há evidências significativas (a 10%) de que o concreto do tipo X seja mais resistente que o concreto do tipo Y.

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