A empresa quer estimar o comprimento médio que a máquina está cortando dentro de 0,125 polegada. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para construir um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. Assuma o desvio padrão da população como sendo 0,25 polegada.
Repita o item anterior usando uma tolerância de erro de 0,0625 polegada.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a empresa quer estimar o comprimento médio de corte da máquina com uma certa precisão – primeiro dentro de 0,125 polegada, depois dentro de 0,0625 polegada – numa confiança de 95 %. A gente já sabe o desvio padrão da população: σ = 0,25 polegada.
Conteúdo da matéria: intervalo de confiança para média (quando σ é conhecido) e cálculo do tamanho mínimo de amostra.
O que vamos usar:
  1. O valor crítico de z para 95 % de confiança (z_{α/2} = 1,96).
  2. A fórmula da margem de erro:
E = zα/2,σraizn
3) Desse E, isolar n:
n = l(zα/2,σEr)^2

Passo 2

Agora, com tolerância de erro E = 0,125 polegada:
  1. z_{α/2} = 1,96
  2. σ = 0,25
  3. E = 0,125
    Substituindo na fórmula:
n = l(1,96 times 0,250,125r)^2
Primeiro calcula o quociente dentro do parênteses:
0,250,125 = 2
Então
1,96 times 2 = 3,92
Elevando ao quadrado:
n = (3,92)^2 = 15,3664
Como não dá para ter fração de observação, a gente arredonda para cima:
n = 16

Passo 3

Repetindo com E = 0,0625 polegada:
  1. z_{α/2} = 1,96
  2. σ = 0,25
  3. E = 0,0625
    Fórmula:
n = l(1,96 times 0,250,0625r)^2
Dentro do parênteses:
0,250,0625 = 4
Então
1,96 times 4 = 7,84
Elevando ao quadrado:
n = (7,84)^2 = 61,4656
Arredondando para cima:
n = 62

Resposta

Para 95 % de confiança e σ = 0,25 polegada:
  • Com margem de erro 0,125 polegada → n = 16
  • Com margem de erro 0,0625 polegada → n = 62

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