Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário inicial de recém-formados, investigaramse dois grupos de profissionais. Com os resultados abaixo, expressos em salários-mínimos:
a) De uma estimativa para a diferença entre os salários das duas atividades.
b) Considerando que, apesar dessa diferença as variâncias sejam iguais, construir um IC 98 \% para a diferença entre os salários médios?
c) Refaça o item (b) considerando variâncias diferentes?
d) Qual das duas situações você acha mais realista? Justifique.
Prof. Liberais 9,6 10,3 10,8 10,9 9,2 11,3 10,0
Administradores 8,1 9,8 8,7 10,0 10,2 8,2 8,7 10,1

Passo 1

O enunciado nos traz duas amostras independentes de salários (em salários-mínimos) de recém-formados em duas atividades: profissionais liberais e administradores. Queremos:
  1. estimar a diferença de médias \mu_1-\mu_2;
  2. construir intervalo de confiança de 98 % para essa diferença, primeiro supondo variâncias iguais, depois variâncias diferentes;
  3. discutir qual hipótese de variância é mais realista.

Passo 2

Calculemos para cada grupo o tamanho n, a média \bar x e a variância amostral s^2.
Profissionais liberais n_1=7:
\{9{,}6,\;10{,}3,\;10{,}8,\;10{,}9,\;9{,}2,\;11{,}3,\;10{,}0\}
\bar x_1 = \frac{72{,}1}{7} = 10{,}3,\quad s_1^2 = \frac{\sum (x_i-\bar x_1)^2}{n_1-1} = \frac{3{,}40}{6} = 0{,}5667.
Administradores n_2=8:
\{8{,}1,\;9{,}8,\;8{,}7,\;10{,}0,\;10{,}2,\;8{,}2,\;8{,}7,\;10{,}1\}
\bar x_2 = \frac{73{,}8}{8} = 9{,}225,\quad s_2^2 = \frac{\sum (x_i-\bar x_2)^2}{n_2-1} = \frac{5{,}5148}{7} = 0{,}7878.

Passo 3

A estimativa pontual da diferença de médias é
\bar x_1 - \bar x_2 = 10{,}3 - 9{,}225 = 1{,}075.

Passo 4

Supondo variâncias iguais, calculamos a variância agrupada
s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} = \frac{6\cdot0{,}5667 + 7\cdot0{,}7878}{13} =0{,}6850,
s_p = \sqrt{0{,}6850} = 0{,}8278,\quad \mathrm{SE} = s_p\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}} =0{,}8278\sqrt{\frac17+\frac18} =0{,}4285.
Com df=13 e nível 98 % \alpha=0{,}02, t_{0{,}01,13}=2{,}650. Logo
\text{IC}_{98\%}: \;1{,}075 \pm 2{,}650\cdot0{,}4285 \;\approx [\,1{,}075 -1{,}135,\;1{,}075+1{,}135\,] \;=\;[\,-0{,}060,\;2{,}210\,].

Passo 5

Agora sem supor variâncias iguais (Welch):
\mathrm{SE}_W = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} = \sqrt{\frac{0{,}5667}{7}+\frac{0{,}7878}{8}} =0{,}4238.
Graus de liberdade aproximados por Welch:
\nu \approx \frac{(0{,}5667/7+0{,}7878/8)^2} {\frac{(0{,}5667/7)^2}{6}+\frac{(0{,}7878/8)^2}{7}} \approx13,0,
portanto t_{0{,}01,13} continua \approx2{,}650. Logo
\text{IC}_{98\%,\,Welch}: \;1{,}075 \pm 2{,}650\cdot0{,}4238 \;\approx [\,1{,}075 -1{,}122,\;1{,}075+1{,}122\,] \;=\;[\,-0{,}047,\;2{,}197\,].

Passo 6

Como na prática raramente se conhece igualdade exata de variâncias e nossos s_1^2 e s_2^2 diferem em cerca de 40 %, é mais realista usar o método de variâncias diferentes (Welch), pois ele não exige igualdade de variâncias.

Resposta

a) \displaystyle \hat\mu_1-\hat\mu_2=1{,}075.
b) Assumindo variâncias iguais:
[\, -0{,}060,\;2{,}210\,].
c) Assumindo variâncias diferentes (Welch):
[\, -0{,}047,\;2{,}197\,].
d) A situação mais realista é a de variâncias diferentes, pois não há base para acreditar que as variâncias dos salários sejam exatamente iguais.

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