Uma pesquisa de mercado foi conduzida com o objetivo de estimar a proporção p de consumidores de um determinado produto.
Qual o tamanho de amostra necessário se desejarmos que, com probabilidade 0,95, a estimativa dessa proporção não se desvie do verdadeiro valor p por mais de 0,05?

Passo 1

Beleza, o exercício pede o tamanho de amostra n pra estimar uma proporção p de consumidores de um produto, com 95% de confiança e margem de erro de até 0,05. Isso é um problema de Estatística, mais especificamente estimação de proporções. A gente vai usar o valor crítico z pra 95% e a fórmula de margem de erro.

Passo 2

Na teoria, pra proporções, a margem de erro E num intervalo de confiança (1–α) é
E = z1 - tfracalpha2 ,raizp(1-p)n,
Aqui α=0,05 (logo 95% de confiança) e o z crítico é . Agora é só isolar n nessa fórmula.

Passo 3

Isolando n, dá:
E = z raizp(1-p)n ;Rightarrow; raizp(1-p)n = Ez ;Rightarrow; n = z^2,p(1-p)E^2,
Mas a gente não sabe p. Pra garantir o pior caso (variância máxima), assume-se , porque aí é o maior valor possível.

Passo 4

Agora, substituindo:
z = 1,96
E = 0,05
p(1-p) = 0,25
n = (1,96)^2 times 0,25(0,05)^2 = 3,8416 times 0,250,0025 = 384,16
Como não dá pra ter 0,16 de pessoa, a gente sempre arredonda pra cima, ficando n = 385.

Resposta

O tamanho de amostra necessário é .

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