Está sendo realizado um estudo com um novo medicamento. Mais especificamente, deseja-se estimar a proporção p de pacientes para os quais o tempo de reação após a utilização desse medicamente é menor do que 5 minutos. Para este estudo, o novo medicamento será ministrado em uma amostra de pacientes e o tempo de reação de cada um será registrado.
Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro cometido ao se estimar p seja no máximo 0,05 com um coeficiente de confiança de 95%?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente quer estimar a proporção de pacientes cujo tempo de reação ao novo remédio é menor que 5 min, e precisa que o erro máximo da nossa estimativa seja 0,05 (ou 5 p.p.) com nível de confiança de 95 %. O conteúdo envolvido aqui é estimativa de proporção populacional via intervalo de confiança e cálculo de tamanho de amostra. Para resolver, vamos precisar do valor crítico da normal padrão (o para 95 %) e da fórmula que relaciona erro, , e .

Passo 2

Primeiro, qual é o valor crítico z = 1,96 para 95 % de confiança?
Como , dividimos por 2 e achamos . Esse valor é

Passo 3

A gente sabe pela teoria (Teorema do Limite Central) que a proporção amostral E = z ,raizp(1-p)n é aproximadamente normal com variância . O erro máximo de um intervalo de confiança para proporção é dado por
Aqui queremos .

Passo 4

Reorganizando essa fórmula para achar n = z^2,p(1-p)E^2 , temos
Como ainda não conhecemos , usamos o valor que maximiza , que é . Isso garante tamanho de amostra conservador.

Passo 5

Substituindo os números:
n = (1,96)^2 times 0,5 times 0,5(0,05)^2 = 3,8416 times 0,250,0025 = 0,96040,0025 = 384,16
Como a gente não pode ter 0,16 de pessoa, arredonda para cima: .

Resposta

O tamanho mínimo da amostra é 385 pacientes.

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