-. Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos entrevistados,
20 consumiam os três produtos;
30 os produtos P1 e P2;
50 os produtos P2 e P3;
60 os produtos P1 e P3;
120 o produto P1;
75 o produto P2
Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-se:
a) Quantas consumiam somente o produto P3?
b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos?
c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não P3?

Passo 1

O enunciado trata de três conjuntos de consumidores que preferem os produtos P1, P2 e P3 num universo de 200 pessoas, com as seguintes informações:
l|P1cap P2cap P3r|=20
l|P1cap P2r|=30
l|P2cap P3r|=50
l|P1cap P3r|=60
l|P1r|=120
l|P2r|=75
E sabemos que todas deram preferência a pelo menos um produto, ou seja l|P1cup P2cup P3r|=200. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para achar primeiro l|P3r| e daí responder (a), (b) e (c).

Passo 2

Pelo princípio da inclusão-exclusão vale
l|P1cup P2cup P3r| =l|P1r|+l|P2r|+l|P3r| -l|P1cap P2r|-l|P1cap P3r|-l|P2cap P3r| +l|P1cap P2cap P3r|
Substituindo:
200 = 120 + 75 + l|P3r| - 30 - 60 - 50 + 20 Longrightarrow l|P3r| = 125

Passo 3

Para achar quem consome somente P3 subtraímos de l|P3r| todos que também consomem P1 ou P2:
l|rm só P3r| =l|P3r| -l(l|P1cap P3r|+l|P2cap P3r|-l|P1cap P2cap P3r|r) =125 - (60 + 50 - 20) = 35 ó

Passo 4

Quem consome pelo menos dois são os que consomem exatamente dois mais os 20 que consomem os três:
l|P1cap P2r|-20 = 10 P1 e P2
l|P1cap P3r|-20 = 40 P1 e P3
l|P2cap P3r|-20 = 30 P2 e P3
Somando exatamente dois: 10+40+30=80. Acrescentando os 20 que consomem os três dá 80+20=100.

Passo 5

Quem consome P1 e P2 e não P3 é
l|P1cap P2r| - l|P1cap P2cap P3r| =30 - 20 = 10

Resposta

a) 35
b) 100
c) 10

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