Em uma pesquisa mercadológica, deseja-se estimar a proporção de consumidores que passariam a usar certo produto após experimentá-lo pela primeira vez. Para atingir este objetivo, selecionou-se uma amostra aleatória de 200 consumidores potenciais, fornecendo-lhes amostras grátis do produto. Depois de um mês voltou-se a contatar os consumidores da amostra, oferecendo-lhes o produto por um certo preço. Vinte por cento da amostra decidiu adquirir o produto.
a) Construa uma estimativa intervalar para estimar a proporção de clientes na população que estariam interessados em adquirir o produto. Use um nível de confiança de 90 \%.
b) Se quiséssemos estabelecer uma estimação intervalar (ainda com 90 \% de confiança) que não errasse mais de 3 \% da verdadeira proporção p, qual deveria ser o tamanho mínimo da amostra que teríamos que selecionar.
(479 consumidores)

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória de tamanho n=200 em que a proporção observada de consumidores que compraram o produto após o teste foi
\hat p = 0{,}20.
O que queremos é:
– (a) construir um intervalo de confiança a 90\% para a proporção verdadeira p;
– (b) determinar o tamanho mínimo de amostra, ainda a 90\% de confiança, para que a amplitude máxima do erro de estimação seja E=0{,}03.
O conteúdo principal é intervalo de confiança para proporção e cálculo de tamanho de amostra para proporção.

Passo 2

Para o intervalo de confiança usamos a aproximação normal, válida quando n\hat p e n(1-\hat p) são maiores que 5. Aqui 200\cdot0{,}2=40 e 200\cdot0{,}8=160, ambos maiores que 5, então está ok.
A fórmula é
\hat p \pm z_{\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},
onde para nível de confiança de 90\% temos \alpha=0{,}10 e z_{\alpha/2}=z_{0,05}\approx1{,}645.
Calculemos o erro-padrão:
\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} =\sqrt{\frac{0{,}20\cdot0{,}80}{200}} =\sqrt{0{,}0008} \approx0{,}0283.
O tamanho da margem de erro é
E_{90\%} =1{,}645\times0{,}0283 \approx0{,}0465.
Logo o intervalo de confiança fica
0{,}20 \pm 0{,}0465 \;\Longrightarrow\; (0{,}1535,\;0{,}2465).

Passo 3

Para achar o tamanho de amostra necessário a fim de garantir margem de erro E=0{,}03 em 90\% de confiança, usamos a fórmula
n =\frac{z_{\alpha/2}^{2}\,\hat p\,(1-\hat p)}{E^{2}}.
Mantendo \hat p=0{,}20, E=0{,}03 e z_{0,05}\approx1{,}645, obtemos
n =\frac{1{,}645^{2}\times0{,}20\times0{,}80}{0{,}03^{2}} =\frac{2{,}706\times0{,}16}{0{,}0009} \approx481{,}1.
Como precisamos de número inteiro de consumidores e sempre arredondamos para cima para garantir a margem, tomamos
n_{\min}=482.
Se adotarmos z_{0,05}\approx1{,}64 em vez de 1{,}645, daria
n\approx479,
conforme resposta sugerida.

Resposta

(a) Intervalo de confiança a 90\%:
(0{,}1535,\;0{,}2465).
(b) Tamanho mínimo da amostra:
n\approx479\\ (\text{ou}\\\ 482\\ \text{se usar }z_{0,05}=1{,}645).

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