Em uma pesquisa mercadológica, deseja-se estimar a proporção de consumidores que passariam a usar certo produto após experimentá-lo pela primeira vez. Para atingir este objetivo, selecionou-se uma amostra aleatória de 200 consumidores potenciais, fornecendo-lhes amostras grátis do produto. Depois de um mês voltou-se a contatar os consumidores da amostra, oferecendo-lhes o produto por um certo preço. Vinte por cento da amostra decidiu adquirir o produto.
a) Construa uma estimativa intervalar para estimar a proporção de clientes na população que estariam interessados em adquirir o produto. Use um nível de confiança de
.
b) Se quiséssemos estabelecer uma estimação intervalar (ainda com
de confiança) que não errasse mais de
da verdadeira proporção
, qual deveria ser o tamanho mínimo da amostra que teríamos que selecionar.
(479 consumidores)
a) Construa uma estimativa intervalar para estimar a proporção de clientes na população que estariam interessados em adquirir o produto. Use um nível de confiança de
b) Se quiséssemos estabelecer uma estimação intervalar (ainda com
(479 consumidores)
Passo 1
O enunciado nos dá uma amostra aleatória de tamanho
em que a proporção observada de consumidores que compraram o produto após o teste foi
O que queremos é:
– (a) construir um intervalo de confiança a para a proporção verdadeira
;
– (b) determinar o tamanho mínimo de amostra, ainda a de confiança, para que a amplitude máxima do erro de estimação seja
.
O conteúdo principal é intervalo de confiança para proporção e cálculo de tamanho de amostra para proporção.
– (a) construir um intervalo de confiança a
– (b) determinar o tamanho mínimo de amostra, ainda a
O conteúdo principal é intervalo de confiança para proporção e cálculo de tamanho de amostra para proporção.
Passo 2
Para o intervalo de confiança usamos a aproximação normal, válida quando
e
são maiores que 5. Aqui
e
, ambos maiores que 5, então está ok.
A fórmula é
A fórmula é
onde para nível de confiança de
temos
e
.
Calculemos o erro-padrão:
Calculemos o erro-padrão:
O tamanho da margem de erro é
Logo o intervalo de confiança fica
Passo 3
Para achar o tamanho de amostra necessário a fim de garantir margem de erro
em
de confiança, usamos a fórmula
Mantendo
,
e
, obtemos
Como precisamos de número inteiro de consumidores e sempre arredondamos para cima para garantir a margem, tomamos
Se adotarmos
em vez de
, daria
conforme resposta sugerida.
Resposta
(a) Intervalo de confiança a
:
(b) Tamanho mínimo da amostra: