A tensão de ruptura dos cabos produzidos por um fabricante apresenta média de 1800 kg e desvio padrão de 100 kg . Mediante nova técnica no processo de fabricação, proclama-se que a tensão de ruptura pode ter aumentado. Para testar esta declaração, ensaiou-se uma amostra de 50 cabos, tendo-se determinado a tensão média de ruptura de 1850 kg . Pode-se confirmar a declaração ao nível de significância de 0,01 ?

Passo 1

O enunciado informa que a resistência dos cabos segue distribuição normal com média populacional \mu_{0}=1800 kg e desvio padrão conhecido \sigma=100 kg. Com a nova técnica, supõe-se que a média aumentou. Foi coletada uma amostra de tamanho n=50 com média amostral \bar x=1850 kg. Vamos usar o teste z para média com \sigma conhecido, ao nível de significância \alpha=0,01.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_{0}: \mu = 1800,
H_{1}: \mu > 1800.

Passo 3

Calculamos a estatística de teste:
z = \frac{\bar x - \mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}.
Substituindo,
z = \frac{1850 - 1800}{100/\sqrt{50}} = \frac{50}{100/7,071} \approx 3,54.

Passo 4

Para \alpha=0,01 em teste unilateral à direita, o valor crítico é
z_{0,99} \approx 2,33.
Como 3,54 > 2,33, rejeitamos H_{0}.

Resposta

Rejeita-se H_{0}. Há evidência, a 1 % de significância, de que a média da tensão de ruptura aumentou.

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