Uma caixa contém 2 moedas, uma tem cara em ambos os lados e a outra é honesta. Uma moeda é selecionada e lançada, se obtivemos cara qual é a probabilidade que a moeda seja honesta?

Passo 1

O enunciado diz: uma caixa tem duas moedas — uma moeda com cara em ambos os lados (vou chamar de moeda dupla) e outra honesta (justa). Seleciona-se uma moeda ao acaso e lança-se uma vez; o resultado observado foi cara. A pergunta é: qual é a probabilidade de que a moeda selecionada seja a moeda honesta, dado que saiu cara?
Informações importantes fornecidas:
  • Há duas moedas na caixa.
  • A seleção da moeda é aleatória (cada moeda tem probabilidade igual de ser escolhida).
  • A moeda dupla dá cara com probabilidade 1 em qualquer lançamento.
  • A moeda honesta dá cara com probabilidade 1/2 em um lançamento.
  • Observação: saiu cara. Pergunta: qual é \Pr(\text{moeda honesta} \mid \text{cara}) ?

Passo 2

Definimos eventos para organizar:
  • Seja H o evento “a moeda escolhida é honesta”.
  • Seja D o evento “a moeda escolhida é dupla (cara em ambos os lados)”.
  • Seja C o evento “o lançamento resultou em cara”.
    O que queremos calcular é \Pr(H\mid C), a probabilidade de H sabendo que C ocorreu.

Passo 3

Vou explicar o conceito que usamos: a probabilidade condicional. Para dois eventos A e B, a probabilidade de A dado B é
\Pr(A\mid B)=\frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}.
Isto significa: a chance de A ocorrer quando sabemos que B ocorreu é a fração da probabilidade conjunta A e B em relação à probabilidade de B. Aqui aplicamos com A=H e B=C:
\Pr(H\mid C)=\frac{\Pr(H\cap C)}{\Pr\text{(C)}}.
Portanto precisamos calcular \Pr(H\cap C) (probabilidade de escolher a honesta e sair cara) e \Pr\text{(C)} (probabilidade de sair cara, independentemente da moeda).

Passo 4

Calculando \Pr(H\cap C): para ocorrer H\cap C devemos primeiro escolher a moeda honesta e depois obter cara nesse lançamento. Como a escolha entre as duas moedas é equiprobável, temos \Pr(H)=1/2. A probabilidade de cara com a moeda honesta é 1/2. Pelas regras do produto para eventos independentes do processo de escolha e do lançamento:
\Pr(H\cap C)=\Pr(H)\cdot \Pr(C\mid H)=\left(\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}.

Passo 5

Calculando \Pr(D\cap C): similarmente, escolher a moeda dupla tem probabilidade \Pr(D)=1/2. A moeda dupla dá cara com probabilidade 1. Então
\Pr(D\cap C)=\Pr(D)\cdot \Pr(C\mid D)=\left(\frac{1}{2}\right)\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora usamos a lei da probabilidade total para C: o evento C pode ocorrer vindo da honesta ou da dupla, eventos mutuamente exclusivos, então
\Pr\text{(C)}=\Pr(H\cap C)+\Pr(D\cap C)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}.
Isso representa a chance total de observar cara antes de sabermos qual moeda foi escolhida.

Passo 7

Voltamos à fórmula condicional e substituímos os valores:
\Pr(H\mid C)=\frac{\Pr(H\cap C)}{\Pr\text{(C)}}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{4}}=\frac{1}{3}.
Portanto a probabilidade pedida é 1/3.

Passo 8

Intuição rápida (sem fórmulas): imagine repetir muitas vezes o experimento (escolher uma moeda ao acaso e lancá-la). Em cada 2 escolhas, em média 1 escolherá a honesta e 1 a dupla. Das vezes que escolhemos a honesta, metade dará cara (ou seja, 0,5 ocorrência de cara por escolha honesta). Das vezes que escolhemos a dupla, sempre dará cara (1 ocorrência de cara por escolha dupla). Em média, por 2 escolhas você espera 0{,}5+1=1{,}5 caras; dessas 1{,}5 caras, apenas 0{,}5 vieram da honesta. A fração é 0{,}5/1{,}5=1/3.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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