Uma caixa contém 2 moedas, uma tem cara em ambos os lados e a outra é honesta. Uma moeda é selecionada e lançada, se obtivemos cara qual é a probabilidade que a moeda seja honesta?
Passo 1
O enunciado diz: uma caixa tem duas moedas — uma moeda com cara em ambos os lados (vou chamar de moeda dupla) e outra honesta (justa). Seleciona-se uma moeda ao acaso e lança-se uma vez; o resultado observado foi cara. A pergunta é: qual é a probabilidade de que a moeda selecionada seja a moeda honesta, dado que saiu cara?
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- Há duas moedas na caixa.
- A seleção da moeda é aleatória (cada moeda tem probabilidade igual de ser escolhida).
- A moeda dupla dá cara com probabilidade
em qualquer lançamento. - A moeda honesta dá cara com probabilidade
em um lançamento. - Observação: saiu cara. Pergunta:
qual é ?
Passo 2
Definimos eventos para organizar:
- Seja
o evento “a moeda escolhida é honesta”. - Seja
o evento “a moeda escolhida é dupla (cara em ambos os lados)”. - Seja
o evento “o lançamento resultou em cara”.
O que queremos calcular é, a probabilidade de sabendo que ocorreu.
Passo 3
Vou explicar o conceito que usamos: a probabilidade condicional. Para dois eventos
e
, a probabilidade de
dado
é
Isto significa: a chance de
ocorrer quando sabemos que
ocorreu é a fração da probabilidade conjunta
e
em relação à probabilidade de
. Aqui aplicamos com
e
:
Portanto precisamos calcular
(probabilidade de escolher a honesta e sair cara) e
(probabilidade de sair cara, independentemente da moeda).
Passo 4
Calculando
: para ocorrer
devemos primeiro escolher a moeda honesta e depois obter cara nesse lançamento. Como a escolha entre as duas moedas é equiprobável, temos
. A probabilidade de cara com a moeda honesta é
. Pelas regras do produto para eventos independentes do processo de escolha e do lançamento:
Passo 5
Calculando
: similarmente, escolher a moeda dupla tem probabilidade
. A moeda dupla dá cara com probabilidade
. Então
Passo 6
Agora usamos a lei da probabilidade total para
: o evento
pode ocorrer vindo da honesta ou da dupla, eventos mutuamente exclusivos, então
Isso representa a chance total de observar cara antes de sabermos qual moeda foi escolhida.
Passo 7
Voltamos à fórmula condicional e substituímos os valores:
Portanto a probabilidade pedida é
.
Passo 8
Intuição rápida (sem fórmulas): imagine repetir muitas vezes o experimento (escolher uma moeda ao acaso e lancá-la). Em cada 2 escolhas, em média 1 escolherá a honesta e 1 a dupla. Das vezes que escolhemos a honesta, metade dará cara (ou seja, 0,5 ocorrência de cara por escolha honesta). Das vezes que escolhemos a dupla, sempre dará cara (1 ocorrência de cara por escolha dupla). Em média, por 2 escolhas você espera
caras; dessas
caras, apenas
vieram da honesta. A fração é
.