Uma pesquisa de opinião determinou que a probabilidade de que uma pessoa consuma o produto A é 0,50 , que consuma o produto B é 0,37 que consuma o produto C é 0,30 , que consuma A e B é 0,12 , que consuma somente o produto A e C é 0,08 , que consuma somente B e C é 0,05 e que consuma somente C é 0,15 . Obtenha a probabilidade de que uma pessoa consuma:
(a) A ou B mas não C .

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos e o que queremos.
Enunciado:
  • P(A)=0,50
  • P(B)=0,37
  • P©=0,30
  • P(A∧B)=0,12
  • P(só A e C)=0,08
  • P(só B e C)=0,05
  • P(só C)=0,15
Objetivo: calcular
Pl((Acup B)cap C^cr),
ou seja, a probabilidade de consumir A ou B mas não C.
Conteúdo: operações com eventos (união, interseção, complementar) e princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir P(A∧B∧C), ou seja, quem consome os três. Note que o evento C é particionado em quatro partes disjuntas:
  • só C
  • só A e C
  • só B e C
  • A, B e C
Logo,
P(C) = P(só C) + P(só A e C) + P(só B e C) + P(Acap Bcap C) óóó
Substituindo os valores:
0,30 = 0,15 + 0,08 + 0,05 + x,
onde x = 0,30 - (0,15 + 0,08 + 0,05) = 0,30 - 0,28 = 0,02 .
Então

Passo 3

Agora encontramos a parte de A∧B sem C, ou seja
P(Acap Bcap C^c) = P(Acap B) - P(Acap Bcap C) = 0,12 - 0,02 = 0,10

Passo 4

Precisamos também de
P(Acap C^c) = P(A) - P(Acap C)
Mas P(Acap C^c) = 0,50 - 0,10 = 0,40 ó.
Logo

Passo 5

De modo análogo,
P(Bcap C^c) = P(B) - P(Bcap C),
onde P(Bcap C^c) = 0,37 - 0,07 = 0,30 .
Então

Passo 6

Finalmente, para
Pl((Acup B)cap C^cr)
podemos enxergar como a união dos eventos P(Ecup F) = P(E) + P(F) - P(Ecap F) e Pl((Acup B)cap C^cr) = 0,40 + 0,30 - 0,10 = 0,60 .
Pelo princípio da inclusão-exclusão:
Aqui , e .
Então

Resposta

0,60

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