Sejam A, B e C são três eventos de um mesmo espaço amostral, tais que: P(B)= 0,5, P(C)=0,3, P(B mid C)=0,4 e P(A mid(B cap C))=0,05. Calcule P(barA cup barB cup barC).

Passo 1

O enunciado diz que A, B e C são eventos no mesmo espaço amostral e vêm com:
  • P(B) = 0,5
  • P© = 0,3
  • P(B | C) = 0,4
  • P(A | B ∩ C) = 0,05
A meta é calcular
P(bar A ∪ bar B ∪ bar C)
Conteúdo envolvido: probabilidade condicional, interseção, complemento e a lei de De Morgan. Vamos precisar usar
  1. A definição de probabilidade condicional:
P(B∩C)=P(Bmid C),P(C)e P(A∩B∩C)=P(Amid B∩C),P(B∩C)
  1. A propriedade de De Morgan para complementos:
bar A ∪ bar B ∪ bar C = A∩B∩C,
o que implica
P(bar A ∪ bar B ∪ bar C)=1 - P(A∩B∩C)

Passo 2

Aplicando De Morgan, transformamos a união dos complementos numa negação da interseção tripla:
bar A ∪ bar B ∪ bar C = A∩B∩C Longrightarrow P(bar A ∪ bar B ∪ bar C) = 1 - P(A∩B∩C)

Passo 3

Antes de achar P(B∩C) = P(Bmid C),P(C) = 0,4 times 0,3 = 0,12 , precisamos de . Usamos
Aqui a ideia é: “probabilidade de B e C juntos” = “probabilidade de C” vezes “dada C, a chance de B”.

Passo 4

Agora usamos a condicional de A dado P(A∩B∩C) = P(Amid B∩C),P(B∩C) = 0,05 times 0,12 = 0,006 :

Passo 5

Voltamos à fórmula do Passo 2:
P(bar A ∪ bar B ∪ bar C) = 1 - P(A∩B∩C) = 1 - 0,006 = 0,994

Resposta

P(bar A ∪ bar B ∪ bar C) = 0,994

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