A pontuação em um certo exame de lingua estrangeira tem sido, em média, de 94 pontos. Há interesse em saber se alunos de uma determinada escola conseguem resultado médio superior deste valor. Para investigar, foi tomada uma amostra aleatória de 10 estudantes que fizeram o exame e obtiveram uma nota média de 100.7 com desvio padrão de 12.5 pontos. Use um teste estatístico para avaliar o desempenho dos alunos desta escola. Adote um nível de significância de 10 \%.
Qual a distribuição da estatística de teste?
Qual o tipo de hipótese alternativa?
( 2,0.02 ) Qual o valor crítico do teste (o valor que define a região crítica), na escala da estatística de teste? (Se o teste for bilateral informe apenas um dos valores.) \square
(2, 0.02) Qual o valor da estatística de teste? \square
Em qual faixa de valores se encontra o p-valor? \square
Ao nível de significância de 10 %, pode-se rejeitar a hipótese nula? \square

Passo 1

O enunciado afirma que a média histórica das notas é \mu_{0}=94. Uma amostra de n=10 alunos desta escola apresentou média \bar x=100{,}7 e desvio padrão amostral s=12{,}5. Queremos testar, a \alpha=0{,}10, se a média da escola é superior a 94.

Passo 2

Formulamos as hipóteses e identificamos a distribuição da estatística de teste:
H_{0}:\mu=94
H_{1}:\mu>94
Como \sigma populacional é desconhecido e n é pequeno, a estatística de teste
T=\frac{\bar x-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}
segue uma distribuição t com n-1=9 graus de liberdade.

Passo 3

Para \alpha=0{,}10 e teste unilateral à direita, o valor crítico é
t_{1-\alpha,\,9}=t_{0{,}90,9}\approx1{,}383.

Passo 4

Calculamos a estatística observada:
T=\frac{100{,}7-94}{12{,}5/\sqrt{10}} =\frac{6{,}7}{12{,}5/3{,}1623} \approx1{,}695.

Passo 5

O p-valor é
p = P(T_{9}\ge1{,}695)\approx0{,}061,
logo está entre 0{,}05 e 0{,}10.

Passo 6

Como p=0{,}061<\alpha=0{,}10, rejeitamos H_{0} ao nível de 10\%: há evidência de que a média da escola é superior a 94.

Resposta

Distribuição da estatística de teste: t com 9 graus de liberdade.
Tipo de hipótese alternativa: unilateral à direita ( H_{1}:\mu>94).
Valor crítico: t_{0{,}90,9}\approx1{,}383.
Valor da estatística de teste: T\approx1{,}695.
Intervalo do p-valor: entre 0{,}05 e 0{,}10.
Rejeita-se H_{0} ao nível de 10\%.

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