Uma pesquisa perguntou as pessoas: “Há quanto tempo você mora na cidade ou comunidade onde mora hoje?”. As respostas de 1415 sujeitos desse levantamento de dados apresentaram uma mediana de 16 anos, uma média de 20,3 e um desvio padrão de 18,2.
  1. você acha que distribuição da população é normal? Por que sim ou por que não?
  2. Baseado na sua resposta no item anterior, você pode construir um intervalo de confiança de 99 % para a média populacional? Se não, explique por que não. Se você pode, construa-o e interprete-o.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=1415 com mediana de 16 anos, média amostral bar x=20,3 anos e desvio-padrão amostral s=18,2 anos. Precisamos avaliar se a distribuição da população é normal e, em seguida, decidir se podemos construir um intervalo de confiança de 99% para a média populacional.

Passo 2

Para saber se a distribuição populacional é normal, observamos que
  1. A mediana ( 16) é bem menor que a média ( 20,3), sugerindo assimetria à direita (cauda longa para valores maiores).
  2. O desvio-padrão ( 18,2) é quase da mesma ordem da média, indicando grande dispersão e potencial de cauda longa.
    Portanto, é muito provável que a distribuição verdadeira seja não normal, com assimetria à direita.

Passo 3

Apesar da população não parecer normal, o Teorema do Limite Central (TLC) nos diz que, para amostras grandes ( n>=30), a distribuição amostral da média bar X tende a ser aproximadamente normal. Como aqui n=1415 é grande, podemos usar aproximadamente a normal padrão para construir intervalos de confiança para a média populacional.

Passo 4

O intervalo de confiança de nível 99% para a média mu quando n é grande é dado por
bar x pm zalpha/2,sraizn,
onde zalpha/2 é o quantil da normal padrão para alpha=1-0,99=0,01, ou seja z0,005approx2,5758.

Passo 5

Calculamos o erro padrão e a margem de erro:
Erro padrão = sraizn = 18,2raiz1415 approx 18,237,62 approx 0,484 ã
Mar>=m de erro = z0,005times 0,484 approx 2,5758times 0,484 approx 1,247
Logo o intervalo é
20,3 pm 1,247 Longrightarrow (20,3 - 1,247,;20,3 + 1,247) =(19,053,;21,547)

Passo 6

Interpretação: temos 99% de confiança de que a verdadeira média de tempo de residência das pessoas na cidade está entre aproximadamente 19,05 e 21,55 anos.

Resposta

O intervalo de confiança de 99% para a média populacional é aproximadamente
(19,05,;21,55) anos

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