Uma pesquisa perguntou as pessoas: “Há quanto tempo você mora na cidade ou comunidade onde mora hoje?”. As respostas de 1415 sujeitos desse levantamento de dados apresentaram uma mediana de 16 anos, uma média de 20,3 e um desvio padrão de 18,2.
- você acha que distribuição da população é normal? Por que sim ou por que não?
- Baseado na sua resposta no item anterior, você pode construir um intervalo de confiança de
para a média populacional? Se não, explique por que não. Se você pode, construa-o e interprete-o.
Passo 1
O enunciado nos dá uma amostra de tamanho
com mediana de
anos, média amostral
anos e desvio-padrão amostral
anos. Precisamos avaliar se a distribuição da população é normal e, em seguida, decidir se podemos construir um intervalo de confiança de
para a média populacional.
Passo 2
Para saber se a distribuição populacional é normal, observamos que
- A mediana (
) é bem menor que a média ( ), sugerindo assimetria à direita (cauda longa para valores maiores). - O desvio-padrão (
) é quase da mesma ordem da média, indicando grande dispersão e potencial de cauda longa.
Portanto, é muito provável que a distribuição verdadeira seja não normal, com assimetria à direita.
Passo 3
Apesar da população não parecer normal, o Teorema do Limite Central (TLC) nos diz que, para amostras grandes (
), a distribuição amostral da média
tende a ser aproximadamente normal. Como aqui
é grande, podemos usar aproximadamente a normal padrão para construir intervalos de confiança para a média populacional.
Passo 4
O intervalo de confiança de nível
para a média
quando
é grande é dado por
onde
é o quantil da normal padrão para
, ou seja
.
Passo 5
Calculamos o erro padrão e a margem de erro:
Logo o intervalo é
Passo 6
Interpretação: temos
de confiança de que a verdadeira média de tempo de residência das pessoas na cidade está entre aproximadamente
e
anos.
Resposta
O intervalo de confiança de
para a média populacional é aproximadamente