Uma pesquisa pretende verificar se há correlação significativa entre o peso total do lixo descartado, por dia, numa rede de hotéis com o peso contido nesse lixo. Segue os dados:
Hotel H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 H 7 H 8 H 9 H 10
Peso <br> total 10,47 19,85 21,25 24,36 27,38 58,09 33,61 35,75 38,33 49,14
Peso do <br> Papel 2,43 5,12 6,88 6,22 8,84 8,76 7,54 8,47 9,55 11,43
Determine o coeficiente de determinação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se existe uma correlação significativa entre o peso total do lixo descartado por dia em uma rede de hotéis e o peso de papel nesse lixo. Ou seja, queremos ver se, quando o peso total do lixo aumenta, o peso de papel também aumenta de forma consistente. Para resolver isso, vamos calcular o coeficiente de determinação, que nos mostra quanto da variação no peso total do lixo pode ser explicada pelo peso de papel. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística sobre correlação e regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Hotel Peso Total (kg) Peso de Papel (kg)
H1 10,47 2,43
H2 19,85 5,12
H3 21,25 6,88
H4 24,36 6,22
H5 27,38 8,84
H6 58,09 8,76
H7 33,61 7,54
H8 35,75 8,47
H9 38,33 9,55
H10 49,14 11,43

Passo 3

Vamos calcular a média do peso total e do peso de papel.
Média do Peso Total ( X):
X = 10,47 + 19,85 + 21,25 + 24,36 + 27,38 + 58,09 + 33,61 + 35,75 + 38,33 + 49,1410 = 297,0210 = 29,702, kg
Média do Peso de Papel ( Y):
Y = 2,43 + 5,12 + 6,88 + 6,22 + 8,84 + 8,76 + 7,54 + 8,47 + 9,55 + 11,4310 = 75,6410 = 7,564, kg

Passo 4

Agora, vamos calcular a covariância entre o peso total e o peso de papel e as variâncias de cada um.
A covariância ( Cov(X,Y)) mede como duas variáveis variam juntas:
Cov(X,Y) = sum(Xi - X)(Yi - Y)n-1
As variâncias ( Var(X) e Var(Y)) medem a variabilidade de cada variável:
Var(X) = sum(Xi - X)^2n-1
Var(Y) = sum(Yi - Y)^2n-1
Vamos calcular cada termo:
Hotel Xi Yi Xi - X Yi - Y (Xi - X)(Yi - Y) (Xi - X)^2 (Yi - Y)^2
H1 10,47 2,43 -19,23 -5,13 98,6769 37,2129 26,3269
H2 19,85 5,12 -9,85 -2,45 24,1325 97,0225 6,0025
H3 21,25 6,88 -8,45 -0,68 5,746 71,4025 0,4624
H4 24,36 6,22 -5,34 -1,34 7,1556 28,5156 1,7956
H5 27,38 8,84 -2,32 1,28 -2,9696 5,3824 1,6384
H6 58,09 8,76 28,39 1,20 34,068 805,0721 1,44
H7 33,61 7,54 3,91 0,98 3,8218 15,2881 0,9604
H8 35,75 8,47 6,05 0,91 5,4955 36,6025 0,8281
H9 38,33 9,55 8,63 1,99 17,1777 74,1969 3,9601
H10 49,14 11,43 19,44 3,87 75,0588 377,7936 14,9769
Total 247,5193 1.259,9446 57,2239

Passo 5

Agora que temos os valores, vamos calcular a covariância e as variâncias:
Cov(X,Y) = 247,519310 - 1 = 247,51939 approx 27,501
Var(X) = 1259,94469 approx 139,9938
Var(Y) = 57,22399 approx 6,3582

Passo 6

Com a covariância e as variâncias, podemos calcular o coeficiente de correlação ( r):
r = Cov(X,Y)raizVar(X) cdot raizVar(Y)
Primeiro, vamos calcular as raízes quadradas das variâncias:
raizVar(X) = raiz139,9938 approx 11,829
raizVar(Y) = raiz6,3582 approx 2,520
Agora, substituímos na fórmula:
r = 27,50111,829 times 2,520 approx 27,50129,823 approx 0,921

Passo 7

O coeficiente de determinação ( R^2) é simplesmente o quadrado do coeficiente de correlação:
R^2 = r^2 = (0,921)^2 approx 0,848
Isso significa que aproximadamente 84,8% da variação no peso total do lixo pode ser explicada pelo peso de papel.

Resposta

O coeficiente de determinação é aproximadamente 0,848 ou 84,8%.

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