De uma população normal com variância 36, toma-se uma amostra aleatória de tamanho 16, obtendo-se a média amostral de 43. Ao nível de 10%, teste as hipóteses abaixo, apresentando a conclusão.
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente tem uma população que segue uma distribuição normal com variância 36. Tiramos uma amostra aleatória de tamanho 16 e a média dessa amostra foi 43. Queremos testar, com um nível de 10% de confiança, se a média da população é igual a 45 ou não. Para isso, vamos usar o Teste de Hipótese para a média quando a variância é conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as hipóteses que estamos testando:
- Hipótese nula (H₀): A média da população é igual a 45, ou seja, μ = 45.
- Hipótese alternativa (H₁): A média da população é diferente de 45, ou seja, μ ≠ 45.
Essa é uma teste bicaudal porque estamos verificando se a média é diferente, sem especificar se é maior ou menor.
Passo 3
Como a variância da população é conhecida (36) e a amostra é menor que 30, podemos usar o Teste Z para a média. A fórmula para o teste Z é:
Onde:
-
é a média amostral (43). -
é a média hipotética (45). -
é o desvio padrão da população. Como a variância é 36, o desvio padrão é . -
é o tamanho da amostra (16).
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor de Z com os valores que temos:
Então, Z ≈ -1,33.
Passo 5
Com o nível de significância de 10%, para um teste bicaudal, dividimos esse valor por 2 para cada extremidade da distribuição. Então, procuramos os valores de Z que correspondem a 5% de cada lado.
Usando a tabela Z, encontramos que os valores críticos são aproximadamente ±1,645.
Passo 6
Agora, comparamos o valor calculado de Z com os valores críticos:
- Se Z ≤ -1,645 ou Z ≥ 1,645, rejeitamos a hipótese nula.
- Se –1,645 < Z < 1,645, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, Z = -1,33, que está entre -1,645 e 1,645.
Resposta
Como o valor de Z (-1,33) está dentro do intervalo crítico (-1,645 a 1,645), não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, com 10% de confiança, não há evidências suficientes para afirmar que a média da população é diferente de 45.