Uma pesquisa pretende verificar se há correlação significativa entre o peso total do lixo descartado, por dia, numa rede de hotéis com o peso contido nesse lixo. Segue os dados:
Hotel H 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 H 7 H 8 H 9 H 10
Peso <br> total 10,47 19,85 21,25 24,36 27,38 58,09 33,61 35,75 38,33 49,14
Peso do <br> Papel 2,43 5,12 6,88 6,22 8,84 8,76 7,54 8,47 9,55 11,43
Existe correlação linear significativa? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma pesquisa que quer saber se existe uma correlação significativa entre o peso total do lixo descartado por dia em uma rede de hotéis e o peso de papel nesse lixo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é correlação linear e como calcular se ela é significativa usando o coeficiente de correlação de Pearson e o teste de significância.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que você forneceu. Temos 10 hotéis com os seguintes pesos:
  • Peso total do lixo (kg): 10,47; 19,85; 21,25; 24,36; 27,38; 58,09; 33,61; 35,75; 38,33; 49,14
  • Peso de papel (kg): 2,43; 5,12; 6,88; 6,22; 8,84; 8,76; 7,54; 8,47; 9,55; 11,43

Passo 3

Agora, vamos calcular a média de cada conjunto de dados. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
Média do peso total:
barX = 10,47 + 19,85 + 21,25 + 24,36 + 27,38 + 58,09 + 33,61 + 35,75 + 38,33 + 49,1410 = 298,2210 = 29,822 , kg
Média do peso de papel:
barY = 2,43 + 5,12 + 6,88 + 6,22 + 8,84 + 8,76 + 7,54 + 8,47 + 9,55 + 11,4310 = 74,4410 = 7,444 , kg

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson ®, que mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. A fórmula é:
r = sum (Xi - barX)(Yi - barY)raizsum (Xi - barX)^2 sum (Yi - barY)^2
Vamos calcular cada parte passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calculamos $ X_i - \bar{X} $ e $ Y_i - \bar{Y} $ para cada hotel:
Hotel $ X_i $ $ Y_i $ $ X_i - \bar{X} $ $ Y_i - \bar{Y} $ $ (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) $ $ (X_i - \bar{X})^2 $ $ (Y_i - \bar{Y})^2 $
H1 10,47 2,43 -19,352 -5,014 96,873 374,231 25,140
H2 19,85 5,12 -10,972 -2,324 25,478 120,398 5,498
H3 21,25 6,88 -8,572 -0,564 4,836 73,430 0,318
H4 24,36 6,22 -5,462 -1,224 6,655 29,787 1,498
H5 27,38 8,84 -2,442 1,396 -3,409 5,972 1,949
H6 58,09 8,76 28,268 1,316 37,244 799,551 1,732
H7 33,61 7,54 3,788 0,096 0,363 14,318 0,009
H8 35,75 8,47 5,928 1,026 6,091 35,160 1,053
H9 38,33 9,55 8,508 2,106 17,940 72,466 4,435
H10 49,14 11,43 19,318 4,986 96,168 373,418 24,861

Passo 6

Agora, somamos as colunas das multiplicações e dos quadrados:
sum (Xi - barX)(Yi - barY) = 96,873 + 25,478 + 4,836 + 6,655 - 3,409 + 37,244 + 0,363 + 6,091 + 17,940 + 96,168 = 281,067
sum (Xi - barX)^2 = 374,231 + 120,398 + 73,430 + 29,787 + 5,972 + 799,551 + 14,318 + 35,160 + 72,466 + 373,418 = 1.832,485
sum (Yi - barY)^2 = 25,140 + 5,498 + 0,318 + 1,498 + 1,949 + 1,732 + 0,009 + 1,053 + 4,435 + 24,861 = 65,804

Passo 7

Com esses valores, podemos calcular o coeficiente de correlação $ r $:
r

Passo 8

Agora, para verificar se essa correlação é significativa, vamos realizar um teste de significância para $ r $. Usamos a seguinte fórmula para o valor t:
r
onde $ n = 10 $ (número de hotéis).
Calculando:
t = r times raizn - 21 - r^2

Passo 9

Com o valor de $ t \approx 3,89 $ e $ graus , de , liberdade = n - 2 = 8 $, consultamos uma tabela t-Student ou usamos um software para encontrar o valor crítico. Para um nível de significância de 5% (α = 0,05) em um teste bicaudal, o valor crítico é aproximadamente 2,306.
Como 3,89 > 2,306, rejeitamos a hipótese nula de que não há correlação.

Resposta

Existe uma correlação linear positiva e significativa ($ r \approx 0,809 $) entre o peso total do lixo descartado e o peso de papel, indicando que quanto maior o peso total do lixo, maior o peso de papel nesse lixo.

Exercícios relacionados