Uma pesquisa pretende verificar se há correlação significativa entre o peso total do lixo descartado, por dia, numa rede de hotéis com o peso contido nesse lixo. Segue os dados:
Hotel | H 1 | H 2 | H 3 | H 4 | H 5 | H 6 | H 7 | H 8 | H 9 | H 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Peso <br> total | 10,47 | 19,85 | 21,25 | 24,36 | 27,38 | 58,09 | 33,61 | 35,75 | 38,33 | 49,14 |
Peso do <br> Papel | 2,43 | 5,12 | 6,88 | 6,22 | 8,84 | 8,76 | 7,54 | 8,47 | 9,55 | 11,43 |
Existe correlação linear significativa? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma pesquisa que quer saber se existe uma correlação significativa entre o peso total do lixo descartado por dia em uma rede de hotéis e o peso de papel nesse lixo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é correlação linear e como calcular se ela é significativa usando o coeficiente de correlação de Pearson e o teste de significância.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que você forneceu. Temos 10 hotéis com os seguintes pesos:
- Peso total do lixo (kg): 10,47; 19,85; 21,25; 24,36; 27,38; 58,09; 33,61; 35,75; 38,33; 49,14
- Peso de papel (kg): 2,43; 5,12; 6,88; 6,22; 8,84; 8,76; 7,54; 8,47; 9,55; 11,43
Passo 3
Agora, vamos calcular a média de cada conjunto de dados. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
Média do peso total:
Média do peso de papel:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson ®, que mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. A fórmula é:
Vamos calcular cada parte passo a passo.
Passo 5
Primeiro, calculamos $ X_i - \bar{X} $ e $ Y_i - \bar{Y} $ para cada hotel:
Hotel | $ X_i $ | $ Y_i $ | $ X_i - \bar{X} $ | $ Y_i - \bar{Y} $ | $ (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) $ | $ (X_i - \bar{X})^2 $ | $ (Y_i - \bar{Y})^2 $ |
---|---|---|---|---|---|---|---|
H1 | 10,47 | 2,43 | -19,352 | -5,014 | 96,873 | 374,231 | 25,140 |
H2 | 19,85 | 5,12 | -10,972 | -2,324 | 25,478 | 120,398 | 5,498 |
H3 | 21,25 | 6,88 | -8,572 | -0,564 | 4,836 | 73,430 | 0,318 |
H4 | 24,36 | 6,22 | -5,462 | -1,224 | 6,655 | 29,787 | 1,498 |
H5 | 27,38 | 8,84 | -2,442 | 1,396 | -3,409 | 5,972 | 1,949 |
H6 | 58,09 | 8,76 | 28,268 | 1,316 | 37,244 | 799,551 | 1,732 |
H7 | 33,61 | 7,54 | 3,788 | 0,096 | 0,363 | 14,318 | 0,009 |
H8 | 35,75 | 8,47 | 5,928 | 1,026 | 6,091 | 35,160 | 1,053 |
H9 | 38,33 | 9,55 | 8,508 | 2,106 | 17,940 | 72,466 | 4,435 |
H10 | 49,14 | 11,43 | 19,318 | 4,986 | 96,168 | 373,418 | 24,861 |
Passo 6
Agora, somamos as colunas das multiplicações e dos quadrados:
Passo 7
Com esses valores, podemos calcular o coeficiente de correlação $ r $:
Passo 8
Agora, para verificar se essa correlação é significativa, vamos realizar um teste de significância para $ r $. Usamos a seguinte fórmula para o valor t:
onde $ n = 10 $ (número de hotéis).
Calculando:
Passo 9
Com o valor de $ t \approx 3,89 $ e $ graus , de , liberdade = n - 2 = 8 $, consultamos uma tabela t-Student ou usamos um software para encontrar o valor crítico. Para um nível de significância de 5% (α = 0,05) em um teste bicaudal, o valor crítico é aproximadamente 2,306.
Como 3,89 > 2,306, rejeitamos a hipótese nula de que não há correlação.
Resposta
Existe uma correlação linear positiva e significativa ($ r \approx 0,809 $) entre o peso total do lixo descartado e o peso de papel, indicando que quanto maior o peso total do lixo, maior o peso de papel nesse lixo.