Os dados da tabela são a média amostral (
) e a amplitude amostral R de 30 amostras de tamanho 5, referentes ao diâmetro de um eixo.
| n° Amostra |
|
R | n° Amostra |
|
R |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5,00 | 4,12 | 16 | 7,10 | 2,00 |
| 2 | 7,05 | 6,18 | 17 | 4,90 | 4,12 |
| 3 | 3,10 | 4,00 | 18 | 5,00 | 2,24 |
| 4 | 6,15 | 7,04 | 19 | 4,00 | 4,12 |
| 5 | 2,90 | 4,12 | 20 | 5,20 | 6,00 |
| 6 | 5.05 | 0,08 | 21 | 3,85 | 2,12 |
| 7 | 6,00 | 4,12 | 22 | 3,90 | 4,12 |
| 8 | 3,25 | 6,12 | 23 | 6,00 | 1,19 |
| 9 | 4,90 | 10,20 | 24 | 6,15 | 1,20 |
| 10 | 5,00 | 2,06 | 25 | 4,90 | 5,24 |
| 11 | 6,10 | 8,16 | 26 | 5,00 | 4,09 |
| 12 | 3,75 | 4,12 | 27 | 4,90 | 4,24 |
| 13 | 5,00 | 7,91 | 28 | 6,55 | 4,15 |
| 14 | 2,95 | 3,00 | 29 | 5,00 | 4,12 |
| 15 | 5,00 | 4,24 | 30 | 3,45 | 7,67 |
|
|
a) Calcule os limites de controle para os gráficos da amplitude R e da média
b) Se a desvo-padrão do processo se desloca de para
,
b) Se a desvo-padrão do processo se desloca de
- qual a probabilidade de o gráfico de controle de R detectar esta mudança?
(probabilidade de um ponto cair fora dos limites de controle) - Qual a probabilidade de que descubramos tal mudança com o grafico de
, quarta amostra após a mudança - Calcule o número médio de amostra até um sinal.
Passo 1
O enunciado dá 30 amostras de tamanho
. Para cada amostra temos a média amostral
e a amplitude
. O enunciado já calculou a média das médias e a média das amplitudes:
Pede-se:
a) calcular os limites de controle para o gráfico da amplitude e para o gráfico da média
;\n
b) supondo que o desvio-padrão do processo muda de para
:\n
a) calcular os limites de controle para o gráfico da amplitude
b) supondo que o desvio-padrão do processo muda de
- qual a probabilidade de o gráfico de
detectar essa mudança (probabilidade de um ponto cair fora dos limites)?,\n - qual a probabilidade de descobrirmos tal mudança com o gráfico de
até a quarta amostra após a mudança?,\n - qual o número médio de amostras até um sinal?
Passo 2
Explico as fórmulas e as constantes que vamos usar (tudo passo a passo, como no exame):
- Para o gráfico de
(amplitude) usamos limites dados por
onde
e
são constantes tabeladas que dependem do tamanho da amostra
. Para
os valores tabelados são
- Para o gráfico da média
(usando o gráfico baseado em ) os limites são
onde
é a constante tabelada acima.
- Uma relação útil (teórica) que liga
e é a esperança da amplitude:
Isso significa que, se o desvio-padrão do processo aumenta para
, a média das amplitudes aumenta na mesma proporção (ficaria
).
- Para calcular a probabilidade de um ponto de
cair fora dos limites após a mudança de vamos usar uma aproximação clássica do SPC: os limites são aproximadamente a média da distribuição da estatística mais/menos desvios-padrão da estatística . Assim podemos estimar a variância da distribuição da amplitude a partir da posição do UCL original e depois reescalar quando aumenta. Esta aproximação é prática e comum em provas (ela transforma o problema numa conta de padrão).
Passo 3
Calcular os limites do gráfico de amplitudes
(aplicando as fórmulas e constantes):
- Fórmulas:
- Inserindo números (
, , ):
Interpretação curta: o limite inferior é zero (valor comum para
), o limite superior é aproximadamente
.
Passo 4
Calcular os limites do gráfico de médias
(passo a passo):
- Fórmulas:
- Inserindo números (
, , ):
Interpretação: o gráfico de médias tem limites aproximadamente
.
Passo 5
Agora parte (b). Primeiro eu explico a estratégia: queremos a probabilidade de que, após o aumento de
para
, uma única amostra de
dê um sinal (isto é,
). Vou usar a aproximação de que a distribuição de
é aproximadamente normal (isso é uma aproximação padrão para análises de probabilidade de detecção em SPC) com média
e desvio-padrão
. Sob a situação in-control (antes da mudança):
Os limites foram colocados praticamente como
na prática, então podemos estimar
usando:
Então
Calculo numérico:
Passo 6
Com o aumento de
para
, a média da amplitude escala na mesma proporção:
E assumindo que a forma da distribuição escala igualmente, o novo desvio da amplitude é
Queremos
sob a nova distribuição. Calculamos o valor padronizado
:
A probabilidade de exceder o UCL é a cauda superior da normal padrão:
(Usei a tabela da normal padrão:
, logo cauda
.)
Portanto a probabilidade de um único ponto de detectar a mudança é aproximadamente
.
Portanto a probabilidade de um único ponto de
Passo 7
Agora a parte (b2): probabilidade de detectar a mudança até a quarta amostra após a mudança.
- As amostras são (aproximadamente) independentes, então a probabilidade de não detectar em uma amostra é
. A probabilidade de não detectar em quatro amostras seguidas é . Logo a probabilidade de detectar pelo menos uma vez em quatro amostras é
- Inserindo
:
Ou seja, aproximadamente
.
Passo 8
Parte (b3): número médio de amostras até um sinal.
- Se cada amostra tem probabilidade
de sinal (sucesso) e as amostras são independentes, o número de amostras até o primeiro sinal segue uma distribuição geométrica com média . - Logo o número médio de amostras até um sinal é
Resposta
(b1)
(b2)
(b3) número médio de amostras até um sinal