Os dados da tabela são a média amostral ( \bar{X}) e a amplitude amostral R de 30 amostras de tamanho 5, referentes ao diâmetro de um eixo.
n° Amostra \bar{x} R n° Amostra \bar{X} R
1 5,00 4,12 16 7,10 2,00
2 7,05 6,18 17 4,90 4,12
3 3,10 4,00 18 5,00 2,24
4 6,15 7,04 19 4,00 4,12
5 2,90 4,12 20 5,20 6,00
6 5.05 0,08 21 3,85 2,12
7 6,00 4,12 22 3,90 4,12
8 3,25 6,12 23 6,00 1,19
9 4,90 10,20 24 6,15 1,20
10 5,00 2,06 25 4,90 5,24
11 6,10 8,16 26 5,00 4,09
12 3,75 4,12 27 4,90 4,24
13 5,00 7,91 28 6,55 4,15
14 2,95 3,00 29 5,00 4,12
15 5,00 4,24 30 3,45 7,67
\bar{X}=4,90 ; \quad \bar{R}=4,40
a) Calcule os limites de controle para os gráficos da amplitude R e da média \bar{X}
b) Se a desvo-padrão do processo se desloca de \sigma=\sigma_{0} para \sigma=1.5 \sigma_{0},
  1. qual a probabilidade de o gráfico de controle de R detectar esta mudança?
    (probabilidade de um ponto cair fora dos limites de controle)
  2. Qual a probabilidade de que descubramos tal mudança com o grafico de R, quarta amostra após a mudança
  3. Calcule o número médio de amostra até um sinal.

Passo 1

O enunciado dá 30 amostras de tamanho n=5. Para cada amostra temos a média amostral \bar{x} e a amplitude R. O enunciado já calculou a média das médias e a média das amplitudes:
\bar{X}=4,90,\qquad \bar{R}=4,40.
Pede-se:
a) calcular os limites de controle para o gráfico da amplitude R e para o gráfico da média \bar{X};\n
b) supondo que o desvio-padrão do processo muda de \sigma_{0} para 1{,}5\sigma_{0}:\n
  1. qual a probabilidade de o gráfico de R detectar essa mudança (probabilidade de um ponto cair fora dos limites)?,\n
  2. qual a probabilidade de descobrirmos tal mudança com o gráfico de R até a quarta amostra após a mudança?,\n
  3. qual o número médio de amostras até um sinal?

Passo 2

Explico as fórmulas e as constantes que vamos usar (tudo passo a passo, como no exame):
  • Para o gráfico de R (amplitude) usamos limites dados por
\text{LCL}_R = D_3\bar{R},\qquad \text{UCL}_R = D_4\bar{R},
onde D_3 e D_4 são constantes tabeladas que dependem do tamanho da amostra n. Para n=5 os valores tabelados são
A_2=0{,}577,\quad D_3=0,\quad D_4=2{,}114,\quad d_2=2{,}326.
  • Para o gráfico da média \bar{X} (usando o gráfico \bar{X} baseado em R) os limites são
\text{UCL}_{\bar{X}}=\bar{X}+A_2\bar{R},\qquad \text{LCL}_{\bar{X}}=\bar{X}-A_2\bar{R},
onde A_2 é a constante tabelada acima.
  • Uma relação útil (teórica) que liga \bar{R} e \sigma é a esperança da amplitude:
\mathbb{E}(\bar{R})\approx d_2\,\sigma.
Isso significa que, se o desvio-padrão do processo aumenta para 1{,}5\sigma_0, a média das amplitudes aumenta na mesma proporção (ficaria 1{,}5\bar{R}).
  • Para calcular a probabilidade de um ponto de R cair fora dos limites após a mudança de \sigma vamos usar uma aproximação clássica do SPC: os limites são aproximadamente a média da distribuição da estatística R mais/menos 3 desvios-padrão da estatística R. Assim podemos estimar a variância da distribuição da amplitude a partir da posição do UCL original e depois reescalar quando \sigma aumenta. Esta aproximação é prática e comum em provas (ela transforma o problema numa conta de z padrão).

Passo 3

Calcular os limites do gráfico de amplitudes R (aplicando as fórmulas e constantes):
  • Fórmulas:
\text{LCL}_R = D_3\bar{R},\qquad \text{UCL}_R = D_4\bar{R}.
  • Inserindo números ( \bar{R}=4,40, D_3=0, D_4=2{,}114):
\text{LCL}_R = 0\cdot 4,40 = 0,
\text{UCL}_R = 2{,}114\cdot 4,40 = 9,3016\approx 9,30.
Interpretação curta: o limite inferior é zero (valor comum para n\le 5), o limite superior é aproximadamente 9{,}30.

Passo 4

Calcular os limites do gráfico de médias \bar{X} (passo a passo):
  • Fórmulas:
\text{UCL}_{\bar{X}}=\bar{X}+A_2\bar{R},\qquad \text{LCL}_{\bar{X}}=\bar{X}-A_2\bar{R}.
  • Inserindo números ( \bar{X}=4,90, A_2=0{,}577, \bar{R}=4,40):
A_2\bar{R}=0{,}577\cdot 4,40=2{,}5388\approx 2{,}54.
\text{UCL}_{\bar{X}}=4,90+2{,}5388=7,4388\approx 7,44,
\text{LCL}_{\bar{X}}=4,90-2{,}5388=2,3612\approx 2,36.
Interpretação: o gráfico de médias tem limites aproximadamente [2{,}36,\;7{,}44].

Passo 5

Agora parte (b). Primeiro eu explico a estratégia: queremos a probabilidade de que, após o aumento de \sigma para 1{,}5\sigma_0, uma única amostra de R dê um sinal (isto é, R>\text{UCL}_R). Vou usar a aproximação de que a distribuição de R é aproximadamente normal (isso é uma aproximação padrão para análises de probabilidade de detecção em SPC) com média \mu_R e desvio-padrão \sigma_R. Sob a situação in-control (antes da mudança):
\mu_{R0}=\mathbb{E}(\bar{R})\approx d_2\sigma_0\approx \bar{R}.
Os limites foram colocados praticamente como \mu_{R0}+3\sigma_{R0} na prática, então podemos estimar \sigma_{R0} usando:
\text{UCL}_R \approx \mu_{R0}+3\sigma_{R0}.
Então
\sigma_{R0}\approx \frac{\text{UCL}_R-\mu_{R0}}{3}=\frac{D_4\bar{R}-\bar{R}}{3}=\frac{(D_4-1)\bar{R}}{3}.
Calculo numérico:
\sigma_{R0}\approx\frac{(2{,}114-1)\cdot 4,40}{3}=\frac{1{,}114\cdot 4,40}{3}=\frac{4,9016}{3}=1,633867\approx 1,634.

Passo 6

Com o aumento de \sigma para 1{,}5\sigma_0, a média da amplitude escala na mesma proporção:
\mu_{R1}=1{,}5\mu_{R0}=1{,}5\cdot 4,40=6,60.
E assumindo que a forma da distribuição escala igualmente, o novo desvio da amplitude é
\sigma_{R1}=1{,}5\sigma_{R0}=1{,}5\cdot 1,633867=2,4508\approx 2,451.
Queremos p=\mathbb{P}(R>\text{UCL}_R) sob a nova distribuição. Calculamos o valor padronizado z:
z=\frac{\text{UCL}_R-\mu_{R1}}{\sigma_{R1}}=\frac{9,3016-6,60}{2,4508}=\frac{2,7016}{2,4508}=1,1022\approx 1,102.
A probabilidade de exceder o UCL é a cauda superior da normal padrão:
p=\mathbb{P}(Z>1,102)\approx 0{,}135.
(Usei a tabela da normal padrão: \Phi(1{,}102)\approx 0{,}865, logo cauda \approx 0{,}135.)
Portanto a probabilidade de um único ponto de R detectar a mudança é aproximadamente 13{,}5\%.

Passo 7

Agora a parte (b2): probabilidade de detectar a mudança até a quarta amostra após a mudança.
  • As amostras são (aproximadamente) independentes, então a probabilidade de não detectar em uma amostra é 1-p. A probabilidade de não detectar em quatro amostras seguidas é (1-p)^4. Logo a probabilidade de detectar pelo menos uma vez em quatro amostras é
1-(1-p)^4.
  • Inserindo p\approx 0{,}135:
1-(1-0{,}135)^4=1-0{,}865^4\approx 1-0{,}5595=0{,}4405\approx 0{,}441.
Ou seja, aproximadamente 44{,}1\%.

Passo 8

Parte (b3): número médio de amostras até um sinal.
  • Se cada amostra tem probabilidade p de sinal (sucesso) e as amostras são independentes, o número de amostras até o primeiro sinal segue uma distribuição geométrica com média 1/p.
  • Logo o número médio de amostras até um sinal é
\frac{1}{p}\approx \frac{1}{0{,}135}\approx 7{,}41\text{ amostras}.

Resposta

\text{LCL}_R=0;\quad \text{UCL}_R\approx 9,30
\text{LCL}_{\bar{X}}\approx 2,36;\quad \text{UCL}_{\bar{X}}\approx 7,44
(b1) p\approx 0,135 (ou 13{,}5\%)
(b2) 1-(1-p)^4\approx 0,441 (ou 44{,}1\%)
(b3) número médio de amostras até um sinal \approx 7{,}41 amostras

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