Numa pesquisa a respeito da estatura de recém-nascidos foi observada uma amostra com 21 bebês, tendo sido observados os resultados abaixo. Valores históricos indicam que a estatura média das crianças é de 51 cm com variância 19,7 cm^2. Verifique se ocorreu alguma mudança na estatura média das crianças nascidas neste hospital.
Dados: sum xi=1039,5 e sum(xi)^2=51881,25
a) Formule as hipóteses de interesse.
b) Qual a conclusão a respeito do tamanho dos bebês? Conduza o teste de hipótese a partir do cálculo do valor-p e considere um nível de significância de 10 %.
c) Que suposições você fez para resolver o item anterior?

Passo 1

O enunciado nos pede para testar se a estatura média dos recém-nascidos deste hospital difere do valor histórico de 51 cm, sabendo que a variância populacional é sigma^2=19,7 cm^2. Temos uma amostra de n=21 bebês com sum xi=1039,5. O conteúdo é um teste de hipótese para a média de uma normal com variância conhecida, usando a estatística Z.

Passo 2

Formulamos as hipóteses nula e alternativa bidirecionais:
H0:mu = 51
H1:mu neq 51
Queremos ver se há evidência de mudança na estatura média, seja para mais ou para menos.

Passo 3

Calculamos a média amostral bar X:
bar X = 1nsumi=1^n xi = 1039,521 = 49,5 cm

Passo 4

Como sigma^2 é conhecida, usamos
Z = bar X - mu0sigma/raizn
com mu0=51, sigma=raiz19,7 e n=21. Primeiro calculamos sigma/raizn:
sigma/raizn = raiz19,7raiz21approx 4,444,58approx 0,969
Então
Z = 49,5-510,969approx -1,55
O valor- p (bilateral) é
p = 2,Phi(-|Z|)approx 2,Phi(-1,55)approx 2cdot0,0606 = 0,1212

Passo 5

Comparando com alpha=0,10, temos papprox0,12>alpha. Logo, não rejeitamos H0. Não há evidência estatística, a 10 %, de mudança na estatura média.

Passo 6

As suposições feitas foram:
– A amostra de n=21 é aleatória e representativa.
– As estaturas seguem distribuição aproximadamente normal.
– A variância populacional sigma^2=19,7 é válida para este grupo.

Resposta

a)
H0:mu=51, H1:muneq51
b) Como Zapprox-1,55 e o valor- papprox0,12>!0,10, não rejeitamos H0. Não há evidência de mudança na média das estaturas.
c) Pressupomos amostra aleatória, normalidade das estaturas e variância conhecida e constante igual a 19,7 cm^2.

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