A revista “Pit Stop”, especializada em automóveis, afirmou que um carro de determinada marca, consome, em média, 10 litros para cada 120 km rodados na estrada. O fabricante acredita que o consumo é, em média, menor e resolve testar a afirmação da revista. Ele analisa 36 veículos, obtendo 9,68 litros em média para cada 120 km rodados. Assuma que o verdadeiro desvio padrão do consumo cada 120 km seja de 0,5 litros e adote alpha=0,01.
a) Defina as hipóteses para o problema.
b) Interprete o erro tipo I e erro tipo II para as hipóteses definidas em (a).
c) O que você conclui a respeito da afirmação da revista?
d) Encontre o valor-p do teste.
e) Calcule a probabilidade de erro tipo II se a verdadeira média for mu=9,5.

Passo 1

O enunciado apresenta um teste de hipótese para a média de consumo de combustível por 120 km, com desvio padrão populacional conhecido ( sigma=0,5 L). A revista afirma que mu=10 L, mas o fabricante suspeita que mu<10. Foi coletada uma amostra de tamanho n=36 com média amostral bar x=9,68 L e nível de significância alpha=0,01. O procedimento é um teste Z unilateral à esquerda.

Passo 2

Definimos as hipóteses:
H0:mu=10,
H1:mu<10

Passo 3

Erro tipo I é rejeitar H0 quando na verdade mu=10 (ou seja, concluir consumo menor indevidamente).
Erro tipo II é não rejeitar H0 quando na verdade mu<10 (ou seja, deixar de detectar que o consumo é menor).

Passo 4

Calculamos a estatística de teste:
Z=bar x-mu0sigma/raizn =9,68-100,5/6=-0,320,08333approx -3,84
O valor crítico para alpha=0,01 no teste unilateral à esquerda é z0,01=-2,33. Como
-3,84 < -2,33,
rejeitamos H0 e concluímos que a média de consumo é menor que 10 L.

Passo 5

O valor- p é
p = P(Z<-3,84)approx 6,3times10^-5approx0,000063

Passo 6

Para mu=9,5, o ponto de não rejeição em bar x é
xc = 10 + z0,01,0,5raiz36 =10 -2,33cdot0,08333approx9,8056
Então
beta = P(bar X>xcmidmu=9,5) =1-Phi!l(9,8056-9,50,08333r) =1-Phi(3,667)approx0,00012

Resposta

a) H0:mu=10;e; H1:mu<10.
b) Erro tipo I: rejeitar H0 quando mu=10; erro tipo II: não rejeitar H0 quando mu<10.
c) Estatística Zapprox-3,84 é menor que -2,33, logo rejeitamos H0 e concluímos que o consumo médio é inferior a 10 L.
d) Valor- papprox0,000063.
e) beta(mu=9,5)approx0,00012.

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