Em uma pesquisa, para o segundo turno de uma eleição sobre intenção de votos, consultou 1000 eleitores. Os resultados foram os seguintes resultados:
dos eleitores disseram que votariam no candidato A e
no candidato B. Utilizando uma confiança de
podemos dizer que com base na amostra o candidato A é vencedor? Porque?
Passo 1
O enunciado e os dados (peguei estes números do enunciado):
- Tamanho da amostra:
. - Proporção amostral que disse votar no candidato A:
(ou ). - Proporção amostral que disse votar no candidato B:
(ou ).
O que o enunciado pergunta: “Utilizando uma confiança depodemos dizer que com base na amostra o candidato A é vencedor? Por quê?”
Ou seja, queremos saber se há evidência suficiente, com nível de confiança (ou nível de significância) correspondente a, para afirmar que a proporção real de eleitores que votariam em A é maior do que a de B.
Passo 2
Estratégia e hipóteses (explicando conceitos):
- Podemos formalizar como um teste de hipótese para a diferença de proporções. A variável de interesse é a diferença
, onde e são as proporções verdadeiras na população. - Hipóteses (teste unilateral, pois queremos saber se A é maior que B):
- Para testar isso usamos a estatística
baseada na diferença amostral e seu erro padrão (desvio padrão da diferença). Comparamos com o valor crítico da Normal padrão para o nível desejado. - Obs.: "Confiança de
" costuma corresponder a nível de significância . Para teste unilateral usamos o valor crítico (para uma cauda). Para um intervalo de confiança bilateral de o crítico é ; mostrar ambos ajuda a entender.
Passo 3
Erro padrão da diferença de proporções — derivação e explicação didática:
- Cada observação da pesquisa coloca a resposta em uma das categorias (A, B, outros). Para proporções amostrais
e de uma mesma amostra multinomial, as variâncias e covariância são (para a verdadeira proporção e amostra de tamanho ):
- A covariância é negativa porque, numa amostra com categorias mutuamente exclusivas, se mais observações caem em A, menos ficam disponíveis para B.
- A variância da diferença é:
- Substituindo:
- Como
e são desconhecidos, usamos as estimativas amostrais e no lugar para obter o erro padrão estimado:
- Observação prática: uma alternativa comumente vista (assumindo independência) é
que ignora a covariância negativa e, portanto, dá um erro padrão menor (menos conservador). Vou calcular ambos para comparação, mas o correto para a mesma amostra multinomial é o primeiro (com covariância).
Passo 4
Cálculos numéricos passo a passo (uso das estimativas da amostra):
- Diferença amostral:
- Erro padrão usando a fórmula correta (com covariância), substituindo
:
Calcule cada termo:
Somando e dividindo por
:
Então o erro padrão é
- Estatística
(usando diferença observada):
- Comparação com os valores críticos:
- Para teste unilateral a
(uma cauda) precisamos de . Aqui , logo não rejeitamos . - Para um intervalo de confiança bilateral de
(crítico ) a margem de erro para a diferença é . O intervalo de para é
- Para teste unilateral a
Esse intervalo contém
, o que indica que não há diferença estatisticamente significativa ao nível de
.
- (Comparação rápida) Se alguém usasse a fórmula que assume independência (menor erro padrão),
então
, que ainda fica abaixo de
. Portanto mesmo com esse método (menos conservador) não há significância a
unilateral.
Passo 5
Interpretação final e intuição (explicando em palavras como usar isso na prova):
- A diferença observada entre A e B é de apenas
. O erro padrão dessa diferença, considerando que as proporções vêm da mesma amostra, é cerca de . - Para demonstrar com
de confiança que precisaríamos que a diferença amostral fosse suficientemente maior que o erro padrão, de modo que a estatística fosse maior que (teste unilateral). Aqui , não é suficiente. - O intervalo de confiança de
para contém zero ( ), então não há evidência estatística suficiente para afirmar que ao nível de confiança pedido. - Conclusão prática: com os dados da amostra não se pode afirmar, com
de confiança, que o candidato A é o vencedor — a diferença pode ser apenas efeito de amostragem. (Dica de prova: mostrar o cálculo do erro padrão, do e do intervalo é o caminho esperado.)
Resposta
Não. Com
de confiança não há evidência estatística suficiente para afirmar que o candidato A é vencedor, pois a diferença amostral de
não é estatisticamente significativa (
<
), e o intervalo de
para
é aproximadamente
, que contém zero.