Em uma pesquisa, para o segundo turno de uma eleição sobre intenção de votos, consultou 1000 eleitores. Os resultados foram os seguintes resultados: 30 \% dos eleitores disseram que votariam no candidato A e 27 \% no candidato B. Utilizando uma confiança de 95 \% podemos dizer que com base na amostra o candidato A é vencedor? Porque?

Passo 1

O enunciado e os dados (peguei estes números do enunciado):
  • Tamanho da amostra: \,n=1000.
  • Proporção amostral que disse votar no candidato A: \hat{p}_A=0,30 (ou 30\%).
  • Proporção amostral que disse votar no candidato B: \hat{p}_B=0,27 (ou 27\%).
    O que o enunciado pergunta: “Utilizando uma confiança de 95\% podemos dizer que com base na amostra o candidato A é vencedor? Por quê?”
    Ou seja, queremos saber se há evidência suficiente, com nível de confiança (ou nível de significância) correspondente a 95\%, para afirmar que a proporção real de eleitores que votariam em A é maior do que a de B.

Passo 2

Estratégia e hipóteses (explicando conceitos):
  • Podemos formalizar como um teste de hipótese para a diferença de proporções. A variável de interesse é a diferença p_A-p_B, onde p_A e p_B são as proporções verdadeiras na população.
  • Hipóteses (teste unilateral, pois queremos saber se A é maior que B):
H_0:\; p_A-p_B \le 0 \qquad\text{vs.}\qquad H_1:\; p_A-p_B > 0.
  • Para testar isso usamos a estatística Z baseada na diferença amostral \hat{p}_A-\hat{p}_B e seu erro padrão (desvio padrão da diferença). Comparamos Z com o valor crítico da Normal padrão para o nível desejado.
  • Obs.: "Confiança de 95\%" costuma corresponder a nível de significância \alpha=0,05. Para teste unilateral usamos o valor crítico z_{0,95}=1{,}645 (para uma cauda). Para um intervalo de confiança bilateral de 95\% o crítico é 1{,}96; mostrar ambos ajuda a entender.

Passo 3

Erro padrão da diferença de proporções — derivação e explicação didática:
  • Cada observação da pesquisa coloca a resposta em uma das categorias (A, B, outros). Para proporções amostrais \hat{p}_A e \hat{p}_B de uma mesma amostra multinomial, as variâncias e covariância são (para a verdadeira proporção p e amostra de tamanho n):
\operatorname{Var}(\hat{p}_A)=\frac{p_A(1-p_A)}{n},\qquad \operatorname{Var}(\hat{p}_B)=\frac{p_B(1-p_B)}{n},
\operatorname{Cov}(\hat{p}_A,\hat{p}_B)=-\frac{p_A p_B}{n}.
  • A covariância é negativa porque, numa amostra com categorias mutuamente exclusivas, se mais observações caem em A, menos ficam disponíveis para B.
  • A variância da diferença é:
\operatorname{Var}(\hat{p}_A-\hat{p}_B)=\operatorname{Var}(\hat{p}_A)+\operatorname{Var}(\hat{p}_B)-2\operatorname{Cov}(\hat{p}_A,\hat{p}_B).
  • Substituindo:
\operatorname{Var}(\hat{p}_A-\hat{p}_B)=\frac{p_A(1-p_A)+p_B(1-p_B)+2p_A p_B}{n}.
  • Como p_A e p_B são desconhecidos, usamos as estimativas amostrais \hat{p}_A e \hat{p}_B no lugar para obter o erro padrão estimado:
\widehat{\operatorname{SE}}(\hat{p}_A-\hat{p}_B) =\sqrt{\frac{\hat{p}_A(1-\hat{p}_A)+\hat{p}_B(1-\hat{p}_B)+2\hat{p}_A\hat{p}_B}{n}}.
  • Observação prática: uma alternativa comumente vista (assumindo independência) é
\sqrt{\frac{\hat{p}_A(1-\hat{p}_A)}{n}+\frac{\hat{p}_B(1-\hat{p}_B)}{n}},
que ignora a covariância negativa e, portanto, dá um erro padrão menor (menos conservador). Vou calcular ambos para comparação, mas o correto para a mesma amostra multinomial é o primeiro (com covariância).

Passo 4

Cálculos numéricos passo a passo (uso das estimativas da amostra):
  • Diferença amostral:
\hat{p}_A-\hat{p}_B = 0,30-0,27 = 0,03.
  • Erro padrão usando a fórmula correta (com covariância), substituindo \hat{p}_A=0,30,\;\hat{p}_B=0,27,\;n=1000:
\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{p}_A-\hat{p}_B) = \frac{0,30(1-0,30)+0,27(1-0,27)+2\cdot0,30\cdot0,27}{1000}.
Calcule cada termo:
0,30(1-0,30)=0,30\cdot0,70=0,21,
0,27(1-0,27)=0,27\cdot0,73=0,1971,
2\cdot0,30\cdot0,27=0,162.
Somando e dividindo por 1000:
\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{p}_A-\hat{p}_B)=\frac{0,21+0,1971+0,162}{1000}=\frac{0,5691}{1000}=0,0005691.
Então o erro padrão é
\widehat{\operatorname{SE}}(\hat{p}_A-\hat{p}_B)=\sqrt{0,0005691}\approx 0,02386\quad(\text{ou }2{,}386\%).
  • Estatística Z (usando diferença observada):
Z=\frac{\hat{p}_A-\hat{p}_B}{\widehat{\operatorname{SE}}(\hat{p}_A-\hat{p}_B)} =\frac{0,03}{0,02386}\approx 1{,}257.
  • Comparação com os valores críticos:
    • Para teste unilateral a 95\% (uma cauda) precisamos de z_{0,95}=1{,}645. Aqui Z\approx1{,}257<1{,}645, logo não rejeitamos H_0.
    • Para um intervalo de confiança bilateral de 95\% (crítico 1{,}96) a margem de erro para a diferença é 1{,}96\cdot0,02386\approx0,0468. O intervalo de 95\% para p_A-p_B é
0,03 \pm 0,0468 \Longrightarrow [-0,0168,\;0,0768].
Esse intervalo contém 0, o que indica que não há diferença estatisticamente significativa ao nível de 95\%.
  • (Comparação rápida) Se alguém usasse a fórmula que assume independência (menor erro padrão),
\widehat{\operatorname{SE}}_{\text{ind}}=\sqrt{\frac{0,30\cdot0,70}{1000}+\frac{0,27\cdot0,73}{1000}} =\sqrt{0,00021+0,0001971}=\sqrt{0,0004071}\approx0,02018,
então Z\approx0,03/0,02018\approx1{,}486, que ainda fica abaixo de 1{,}645. Portanto mesmo com esse método (menos conservador) não há significância a 95\% unilateral.

Passo 5

Interpretação final e intuição (explicando em palavras como usar isso na prova):
  • A diferença observada entre A e B é de apenas \,3\%. O erro padrão dessa diferença, considerando que as proporções vêm da mesma amostra, é cerca de \,2{,}39\%.
  • Para demonstrar com 95\% de confiança que p_A>p_B precisaríamos que a diferença amostral fosse suficientemente maior que o erro padrão, de modo que a estatística Z fosse maior que 1{,}645 (teste unilateral). Aqui Z\approx1{,}257, não é suficiente.
  • O intervalo de confiança de 95\% para p_A-p_B contém zero ( [-0{,}0168,\;0{,}0768]), então não há evidência estatística suficiente para afirmar que p_A>p_B ao nível de confiança pedido.
  • Conclusão prática: com os dados da amostra não se pode afirmar, com 95\% de confiança, que o candidato A é o vencedor — a diferença pode ser apenas efeito de amostragem. (Dica de prova: mostrar o cálculo do erro padrão, do Z e do intervalo é o caminho esperado.)

Resposta

Não. Com 95\% de confiança não há evidência estatística suficiente para afirmar que o candidato A é vencedor, pois a diferença amostral de 3\% não é estatisticamente significativa ( Z\approx1{,}257 < 1{,}645), e o intervalo de 95\% para p_A-p_B é aproximadamente [-0{,}0168,\;0{,}0768], que contém zero.

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