A temperatura de um processo segue uma distribuição \mathrm{N}\left(110^{\circ} \mathrm{C}, 25^{\circ} \mathrm{C}\right).
a) Em qual range de temperatura encontramos 80 \% das temperaturas do processo?
b) Se uma sirene de alerta dispara sempre que a temperatura ultrapassar 160^{\circ} \mathrm{C}, com que frequência ela a sirene dispara?

Passo 1

O enunciado fornece que a temperatura X do processo segue a distribuição normal \mathrm{N}\left(110^\circ\mathrm{C},\,25^\circ\mathrm{C}\right). Vou tomar a notação aqui como média \mu=110^\circ\mathrm{C} e desvio padrão \sigma=25^\circ\mathrm{C} (ou seja, o segundo parâmetro é o desvio padrão).
As perguntas são:
  • (a) Em qual intervalo de temperatura encontramos 80\% das temperaturas do processo?
  • (b) Qual a frequência (probabilidade) com que uma sirene dispara se ela dispara sempre que a temperatura ultrapassar 160^\circ\mathrm{C}?

Passo 2

Conceitos essenciais e fórmula que vamos usar (explicando com calma):
  • Uma variável aleatória X com distribuição normal \mathrm{N}(\mu,\sigma) tem média \mu (centro da distribuição) e desvio padrão \sigma (medida de dispersão). Aqui \mu=110^\circ\mathrm{C} e \sigma=25^\circ\mathrm{C}.
  • Para calcular probabilidades usamos a padronização: definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição normal padrão Z\sim\mathrm{N}(0,1). Isso transforma qualquer ponto x em um valor adimensional z, e daí consultamos a tabela da normal padrão (função de distribuição \Phi).
  • Para encontrar um intervalo central que contenha uma fração p (aqui p=0{,}80) das observações, procuramos um valor z>0 tal que
P(-z<Z<z)=p.
Pela simetria da normal, isso equivale a pedir \Phi(z)=\tfrac{1+p}{2}. No nosso caso \tfrac{1+0{,}80}{2}=0{,}90, portanto precisamos do quantil z_{0{,}9} tal que \Phi(z_{0{,}9})=0{,}90.
  • Valor da tabela: o quantil z_{0{,}9} é aproximadamente 1{,}2816. (Isso é algo que se lê na tabela da normal padrão ou obtém com calculadora).

Passo 3

Cálculo do intervalo central que contém 80\% das temperaturas.
  • A margem em temperatura é \text{margem}=z_{0{,}9}\sigma. Calculando:
\text{margem}=1{,}2816\times25=32{,}04\\ (\!^\circ\mathrm{C}).
  • Assim o intervalo central é
\bigl[\mu-\text{margem},\\ \mu+\text{margem}\bigr]=\bigl[110-32{,}04,\\\ 110+32{,}04\bigr]=\bigl[77{,}96^\circ\mathrm{C},\\\ 142{,}04^\circ\mathrm{C}\bigr].
Interpretação prática: cerca de 80\% das leituras de temperatura ficam entre 77{,}96^\circ\mathrm{C} e 142{,}04^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Cálculo da frequência com que a sirene dispara ( X>160^\circ\mathrm{C}).
  • Primeiro padronizo 160^\circ\mathrm{C}:
z=\frac{160-110}{25}=\frac{50}{25}=2.
  • A probabilidade buscada é
P(X>160^\circ\mathrm{C})=P\bigl(Z>2\bigr)=1-\Phi(2).
  • Valor da tabela: \Phi(2)\approx0{,}97725. Portanto
P(X>160^\circ\mathrm{C})\approx1-0{,}97725=0{,}02275.
  • Em percentagem isso é \approx2{,}275\% (ou, arredondando, 2{,}28\%). Em termos de frequência prática: em média a sirene soa cerca de uma vez a cada \dfrac{1}{0{,}02275}\approx43{,}96, ou seja, aproximadamente 1 vez a cada 44 leituras.

Resposta

a) \bigl[77{,}96^\circ\mathrm{C},\\\ 142{,}04^\circ\mathrm{C}\bigr]
b) P(X>160^\circ\mathrm{C})\approx0{,}02275 (aprox. 2{,}275\%, cerca de 1 em 44 leituras)

Exercícios relacionados