Se o tempo médio gasto em uma fila é de 5 minutos, qual a probabilidade de uma pessoa ficar mais de 15 minutos nela?

Passo 1

O enunciado dá a informação e faz uma pergunta claras:
  • Dado: o tempo médio gasto na fila é de \,5 minutos.
  • Pergunta: qual a probabilidade de uma pessoa ficar mais de \,15 minutos nessa fila?
Nenhuma outra informação foi fornecida no enunciado.

Passo 2

Escolhendo um modelo simples e clássico para tempos de espera: a distribuição exponencial. Vou explicar o quê é e por quê usar aqui, passo a passo e sem pressa.
  • O que é a distribuição exponencial? É uma distribuição contínua usada frequentemente para modelar tempos entre eventos (por exemplo: tempo de espera em filas) quando esses tempos são “sem memória” — isto é, a chance de esperar mais um tempo não depende do quanto já se esperou.
  • A função densidade de probabilidade da exponencial é
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad\text{para }x\ge 0,
onde \lambda>0 é a taxa (parâmetro) da distribuição. Aqui:
  • X representa o tempo de espera de uma pessoa (em minutos).
  • \lambda representa o número médio de “ocorrências” por unidade de tempo; no caso de tempos de espera, \lambda é o inverso da média.
  • A média (valor esperado) de X para a exponencial é
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Portanto, se o enunciado diz a média é \,5 minutos, isso nos dá um valor direto para \lambda.
Justificativa prática: em muitos modelos de filas simples (por exemplo M/M/1) os tempos de serviço ou de espera seguem a exponencial; e quando só dão a média e pedem uma probabilidade “mais de t”, a exponencial é a escolha natural e mais simples em provas. Vou usá-la aqui.

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda a partir da média dada.
  • Como \mathbb{E}[X]=\dfrac{1}{\lambda} e a média é \,5 minutos, temos
\frac{1}{\lambda}=5 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{5}=0,2\\ (\text{por minuto}).
Expliquei: \lambda tem unidade “por minuto” porque é o inverso do tempo médio.

Passo 4

Escrever a fórmula da probabilidade que queremos e mostrar de onde vem.
  • A probabilidade de que X exceda um tempo t (chamada função sobrevivência) para a exponencial é
P(X>t)=\int_{t}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\,dx.
  • Calculando essa integral:
\int_{t}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \left[-e^{-\lambda x}\right]_{x=t}^{x=\infty} = 0 - \big(-e^{-\lambda t}\big) = e^{-\lambda t}.
Portanto, de forma simples e muito usada em provas,
P(X>t)=e^{-\lambda t}.
Aqui t é o tempo que queremos (no enunciado, t=15 minutos).

Passo 5

Aplicar a fórmula com os números do problema.
  • Substituindo \lambda=0,2 e t=15:
\lambda t = 0,2 \times 15 = 3.
  • Logo
P(X>15)=e^{-\lambda\cdot 15}=e^{-3}.
  • Agora uma aproximação numérica prática (que dá para fazer na prova com uma calculadora ou mentalmente com aproximações):
    • Sabe-se que e\approx 2,7182818. Então e^{3}\approx 2,7182818^{3}\approx 20,0855369.
    • Assim e^{-3}=1/e^{3}\approx 1/20,0855369\approx 0,049787.
    • Arredondando de forma conveniente: P(X>15)\approx 0,0498.

Passo 6

Interpretação e dica prática.
  • Interpretando: a probabilidade de uma pessoa esperar mais de \,15 minutos é cerca de 4,98\% — ou seja, é relativamente pequena.
  • Dica útil sobre exponencial (útil em prova): a propriedade “sem memória” significa que, para a exponencial,
P(X> s+t \mid X> s)=P(X>t).
Isto é, se alguém já esperou s minutos, a probabilidade de esperar mais t minutos é a mesma de alguém que acabou de entrar na fila. Isso justifica por que a exponencial é frequentemente usada para modelar filas simples.

Resposta

e^{-3}\approx0,049787

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