Se o tempo médio gasto em uma fila é de 5 minutos, qual a probabilidade de uma pessoa ficar mais de 15 minutos nela?
Passo 1
O enunciado dá a informação e faz uma pergunta claras:
- Dado: o tempo médio gasto na fila é de
minutos. - Pergunta: qual a probabilidade de uma pessoa ficar mais de
minutos nessa fila?
Nenhuma outra informação foi fornecida no enunciado.
Passo 2
Escolhendo um modelo simples e clássico para tempos de espera: a distribuição exponencial. Vou explicar o quê é e por quê usar aqui, passo a passo e sem pressa.
- O que é a distribuição exponencial? É uma distribuição contínua usada frequentemente para modelar tempos entre eventos (por exemplo: tempo de espera em filas) quando esses tempos são “sem memória” — isto é, a chance de esperar mais um tempo não depende do quanto já se esperou.
- A função densidade de probabilidade da exponencial é
onde
é a taxa (parâmetro) da distribuição. Aqui:
-
representa o tempo de espera de uma pessoa (em minutos). -
representa o número médio de “ocorrências” por unidade de tempo; no caso de tempos de espera, é o inverso da média. - A média (valor esperado) de
para a exponencial é
Portanto, se o enunciado diz a média é
minutos, isso nos dá um valor direto para
.
Justificativa prática: em muitos modelos de filas simples (por exemplo M/M/1) os tempos de serviço ou de espera seguem a exponencial; e quando só dão a média e pedem uma probabilidade “mais de t”, a exponencial é a escolha natural e mais simples em provas. Vou usá-la aqui.
Passo 3
Calcular o parâmetro
a partir da média dada.
- Como
e a média é minutos, temos
Expliquei:
tem unidade “por minuto” porque é o inverso do tempo médio.
Passo 4
Escrever a fórmula da probabilidade que queremos e mostrar de onde vem.
- A probabilidade de que
exceda um tempo (chamada função sobrevivência) para a exponencial é
- Calculando essa integral:
Portanto, de forma simples e muito usada em provas,
Aqui
é o tempo que queremos (no enunciado,
minutos).
Passo 5
Aplicar a fórmula com os números do problema.
- Substituindo
e :
- Logo
- Agora uma aproximação numérica prática (que dá para fazer na prova com uma calculadora ou mentalmente com aproximações):
- Sabe-se que
. Então . - Assim
. - Arredondando de forma conveniente:
.
- Sabe-se que
Passo 6
Interpretação e dica prática.
- Interpretando: a probabilidade de uma pessoa esperar mais de
minutos é cerca de — ou seja, é relativamente pequena. - Dica útil sobre exponencial (útil em prova): a propriedade “sem memória” significa que, para a exponencial,
Isto é, se alguém já esperou
minutos, a probabilidade de esperar mais
minutos é a mesma de alguém que acabou de entrar na fila. Isso justifica por que a exponencial é frequentemente usada para modelar filas simples.