Uma pesquisa para verificar a tendência dos alunos a prosseguir os estudos, segundo a classe social do respondente, mostrou o seguinte quadro:
Pretende Continuar Classe social Total
Alta Média Baixa
Sim 200 220 380 800
Não 200 280 720 1200
(a) Forneça uma representação gráfica para estes dados.
(b) Os dados indicam que há associação entre estes fatores? Forneça uma medida quantificadora da associação.
(c) Se dos 400 alunos da classe alta 160 escolhessem continuar e 240 não, você mudaria sua conclusão? Justifique.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Informações do enunciado (peguei todos os números da tabela):
  • Tabela de contingência (contagens):
    • Classe Alta: \text{Sim}=200,\\ \text{Não}=200,\\ \text{Total}=400ã.
    • Classe Média: \text{Sim}=220,\\ \text{Não}=280,\\ \text{Total}=500ã.
    • Classe Baixa: \text{Sim}=380,\\ \text{Não}=720,\\ \text{Total}=1100ã.
  • Totais por resposta:
    • \text{Sim}=800.
    • \text{Não}=1200ã.
  • Total geral: N=2000.
O enunciado pergunta:
(a) Fornecer uma representação gráfica para estes dados.
(b) Dizer se há associação entre “Pretende Continuar” e “Classe social” e fornecer uma medida quantificadora da associação.
(c) Se mudarmos os valores da classe alta para \text{Sim}=160 e \text{Não}=240ã (mantendo o total de 400 nessa classe), isso mudaria a conclusão? Justifique.
A partir daqui vou:
  • mostrar como construir gráficos úteis para visualizar a tabela (parte a),
  • fazer o teste de independência qui‑quadrado passo a passo e calcular a medida de associação Cramér’s V (parte b),
  • repetir os cálculos com os novos números da classe alta e interpretar (parte c).

Passo 2

(a) Como representar graficamente — opções e dados exatos para plotar.
Duas representações muito informativas e fáceis de fazer na prova ou num papel:
  1. Gráfico de barras agrupadas (lado a lado): para cada classe social desenhar duas barras (uma para “Sim” e outra para “Não”) com alturas iguais às contagens. Valores para plotar:
  • Classe Alta: barras com alturas \,200 (Sim) e \,200 (Não).
  • Classe Média: barras com alturas \,220 (Sim) e \,280 (Não).
  • Classe Baixa: barras com alturas \,380 (Sim) e \,720 (Não).
  1. Gráfico de barras empilhadas (ou gráfico de proporções por classe): para cada classe social desenhar uma barra com altura igual ao total da classe e empilhar as partes “Sim” e “Não”. Valores absolutos iguais aos acima; alternativas em porcentagem dentro de cada classe:
  • Classe Alta: \text{Sim}= \dfrac{200}{400}=0{,}50 ( 50\%), \text{Não}=0{,}50ã ( 50\%).
  • Classe Média: \text{Sim}= \dfrac{220}{500}=0{,}44 ( 44\%), \text{Não}=0{,}56ã ( 56\%).
  • Classe Baixa: \text{Sim}= \dfrac{380}{1100}\approx0{,}34545 ( 34{,}545\%), \text{Não}\approx0{,}65455ã ( 65{,}455\%).
Sugestão prática (para fazer à mão na prova):
  • Faça primeiro um gráfico de barras agrupadas para ver diferenças absolutas.
  • Depois faça barras empilhadas em proporção (cada barra com altura 1 ou 100%) para comparar taxas dentro de cada classe (isso mostra melhor a tendência relativa).

Passo 3

(b) Teste de independência qui‑quadrado — teoria e cálculo passo a passo.
Explicação do método (aula mini):
  • Queremos testar se “Pretende Continuar” e “Classe social” são independentes (ou seja, não associadas).
  • Hipóteses: H_0:\\ \text{Independência (sem associação)}\qquad H_1:\\ \text{Há associação}.êçãáçã
  • Se H_0 for verdadeira, o número esperado em cada célula é E_{ij} = \frac{(\text{total da linha }i)\times(\text{total da coluna }j)}{N}.Cada célula tem contribuição ao qui‑quadrado: \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}},e o estatístico é a soma sobre todas as células: \chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}.
  • Graus de liberdade: (r-1)(c-1) onde r é número de linhas e c número de colunas. Aqui r=2 (Sim/Não) e c=3 (Alta/Média/Baixa), logo df=(2-1)(3-1)=2.
  • Para medir a força da associação usamos Cramér’s V: V=\sqrt{\frac{\chi^2}{N\,(k-1)}},onde k=\min(r,c). Aqui k=2 então k-1=1, logo V=\sqrt{\dfrac{\chi^2}{N}}.
Cálculo dos valores esperados (uso da fórmula E_{ij}=\dfrac{\text{linha}\times\text{coluna}}{N}):
  • Totais usados (já calculei): linha “Sim” =800, linha “Não” =1200; colunas: Alta =400, Média =500, Baixa =1100; N=2000.
  • Células esperadas: \begin{aligned} E_{\text{Sim,Alta}}&=\dfrac{800\cdot400}{2000}=160,\\[4pt] E_{\text{Sim,Média}}&=\dfrac{800\cdot500}{2000}=200,\\[4pt] E_{\text{Sim,Baixa}}&=\dfrac{800\cdot1100}{2000}=440,\\[4pt] E_{\text{Não,Alta}}&=\dfrac{1200\cdot400}{2000}=240,\\[4pt] E_{\text{Não,Média}}&=\dfrac{1200\cdot500}{2000}=300,\\[4pt] E_{\text{Não,Baixa}}&=\dfrac{1200\cdot1100}{2000}=660. \end{aligned}éããéã
Agora as contribuições \dfrac{(O-E)^2}{E} por célula (cada cálculo explicado):
  • \text{Sim,Alta}:\\ O=200,\\ E=160,\\ (O-E)=40\Rightarrow \dfrac{40^2}{160}=\dfrac{1600}{160}=10.
  • \text{Sim,Média}:\\ O=220,\\ E=200,\\ (O-E)=20\Rightarrow \dfrac{20^2}{200}=\dfrac{400}{200}=2.é
  • \text{Sim,Baixa}:\\ O=380,\\ E=440,\\ (O-E)=-60\Rightarrow \dfrac{(-60)^2}{440}=\dfrac{3600}{440}\approx8{,}181818.
  • \text{Não,Alta}:\\ O=200,\\ E=240,\\ (O-E)=-40\Rightarrow \dfrac{1600}{240}\approx6{,}666667.ã
  • \text{Não,Média}:\\ O=280,\\ E=300,\\ (O-E)=-20\Rightarrow \dfrac{400}{300}\approx1{,}333333.ãé
  • \text{Não,Baixa}:\\ O=720,\\ E=660,\\ (O-E)=60\Rightarrow \dfrac{3600}{660}\approx5{,}454545.ã
Somando:
\chi^2 \approx 10 + 2 + 8{,}181818 + 6{,}666667 + 1{,}333333 + 5{,}454545 \approx 33{,}636363.
Interpretação estatística:
  • Graus de liberdade df=2.
  • Valores críticos: por exemplo, \chi^2_{0{,}001,\,df=2}\approx13{,}82. Como \chi^2\approx33{,}636 é muito maior que 13{,}82, o p-valor é muito pequeno (bem menor que 0{,}001).
  • Conclusão do teste: rejeita‑se H_0 com forte evidência. Ou seja, há associação estatisticamente significativa entre “Pretende Continuar” e “Classe social”.
Medida de força da associação (Cramér’s V):
  • Como k-1=1 e N=2000, V=\sqrt{\dfrac{\chi^2}{N}}=\sqrt{\dfrac{33{,}636363}{2000}}\approx\sqrt{0{,}01681818}\approx0{,}1297.
  • Interpretação prática: V\approx0{,}13 indica associação fraca a moderada (não é forte; é pequena mas estatisticamente significativa).]

Passo 4

(c) Mudar os números da classe alta para \text{Sim}=160 e \text{Não}=240ã — reagir à pergunta e calcular novamente.
Primeiro reescrever a nova tabela (peguei o novo dado da própria hipótese do enunciado):
  • Classe Alta: \text{Sim}=160,\\ \text{Não}=240,\\ \text{Total}=400ã.
  • As outras classes mantêm: Média (220,280,500), Baixa (380,720,1100).
  • Novos totais por linha:
    • \text{Sim}=160+220+380=760.
    • \text{Não}=240+280+720=1240.ã
  • N permanece 2000.
Calcular esperados com as novas margens:
\begin{aligned} E_{\text{Sim,Alta}}&=\dfrac{760\cdot400}{2000}=152,\\[4pt] E_{\text{Sim,Média}}&=\dfrac{760\cdot500}{2000}=190,\\[4pt] E_{\text{Sim,Baixa}}&=\dfrac{760\cdot1100}{2000}=418,\\[4pt] E_{\text{Não,Alta}}&=\dfrac{1240\cdot400}{2000}=248,\\[4pt] E_{\text{Não,Média}}&=\dfrac{1240\cdot500}{2000}=310,\\[4pt] E_{\text{Não,Baixa}}&=\dfrac{1240\cdot1100}{2000}=682. \end{aligned}éããéã
Contribuições \dfrac{(O-E)^2}{E}:
  • \text{Sim,Alta}:\\ O=160,\\ E=152,\\ (O-E)=8\Rightarrow \dfrac{64}{152}\approx0{,}421053.
  • \text{Sim,Média}:\\ O=220,\\ E=190,\\ (O-E)=30\Rightarrow \dfrac{900}{190}\approx4{,}736842.é
  • \text{Sim,Baixa}:\\ O=380,\\ E=418,\\ (O-E)=-38\Rightarrow \dfrac{1444}{418}\approx3{,}452153.
  • \text{Não,Alta}:\\ O=240,\\ E=248,\\ (O-E)=-8\Rightarrow \dfrac{64}{248}\approx0{,}258065.ã
  • \text{Não,Média}:\\ O=280,\\ E=310,\\ (O-E)=-30\Rightarrow \dfrac{900}{310}\approx2{,}903226.ãé
  • \text{Não,Baixa}:\\ O=720,\\ E=682,\\ (O-E)=38\Rightarrow \dfrac{1444}{682}\approx2{,}116718.ã
Somando:
\chi^2 \approx 0{,}421053 + 4{,}736842 + 3{,}452153 + 0{,}258065 + 2{,}903226 + 2{,}116718 \approx 13{,}888057.
Interpretação:
  • df=2 novamente.
  • Comparando com o crítico de 13{,}82 (para \alpha=0{,}001), temos \chi^2\approx13{,}888 que é ligeiramente maior; o p-valor fica próximo de 0{,}001. Em qualquer caso, é muito pequeno: rejeita‑se H_0 ao nível de 0{,}01 e 0{,}05. Ou seja, continua havendo evidência estatística de associação.
  • Medida de força: V=\sqrt{\dfrac{13{,}888057}{2000}}\approx\sqrt{0{,}00694403}\approx0{,}08333.Isso indica uma associação fraca (a associação ficou mais fraca do que no caso original).
Conclusão para (c): apesar de a classe alta ter agora exatamente os valores que esperariam sob independência (no caso dos 400 da alta, os valores 160/240 coincidem com os esperados para as novas margens), como as outras classes permanecem como estavam isso ainda gera desvio global suficiente para manter uma associação estatisticamente significativa. Portanto a conclusão não mudaria: ainda há evidência de associação, porém a força medida por V fica menor.]

Resposta

(a) Gráficos sugeridos: gráfico de barras agrupadas com alturas por célula — Alta: \text{Sim}=200,\\ \text{Não}=200ã; Média: \text{Sim}=220,\\ \text{Não}=280ã; Baixa: \text{Sim}=380,\\ \text{Não}=720ã. Alternativa: barras empilhadas por classe com proporções — Alta: \text{Sim}=0{,}50,\\ \text{Não}=0{,}50ã; Média: \text{Sim}=0{,}44,\\ \text{Não}=0{,}56ã; Baixa: \text{Sim}\approx0{,}34545,\\ \text{Não}\approx0{,}65455ã.
(b) Sim, há associação. Qui‑quadrado \chi^2\approx33{,}636 com df=2 ( p\ll0{,}001 ), rejeita‑se independência. Medida de associação Cramér’s V\approx0{,}1297 (associação fraca a moderada).
(c) Não mudaria a conclusão: com \text{Sim}_{\text{Alta}}=160,\\ \text{Não}_{\text{Alta}}=240ã obtém‑se \chi^2\approx13{,}888 com df=2 ( p\approx0{,}001 ), ainda rejeita‑se independência; Cramér’s V\approx0{,}08333 (associação fraca).

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