A seguir temos a distribuição das estaturas de 100 alunos de uma classe.
Estaturas \mathrm{N}^{\mathrm{O}} de alunos
1,40 \mid-1,50 5
1,50 \mid-1,60 10
1,60 \mid-1,70 30
1,70 \mid-1,80 40
1,80 \mid-1,90 10
1,90 \mid-2,00 5
Total 100
Determine:
A estatura modal (utilizando o método de Czuber).

Passo 1

O enunciado dá a distribuição das estaturas de 100 alunos em classes de amplitude igual e pede a estatura modal usando o método de Czuber.
Informações fornecidas (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Classes e frequências:
    • 1,40\mid1,50: 5 alunos
    • 1,50\mid1,60: 10 alunos
    • 1,60\mid1,70: 30 alunos
    • 1,70\mid1,80: 40 alunos
    • 1,80\mid1,90: 10 alunos
    • 1,90\mid2,00: 5 alunos
  • Total: 100 alunos
O que o problema pede:
  • Determinar a estatura modal (ou seja, uma estimativa da moda para dados agrupados) usando o método de Czuber.

Passo 2

Identificar a classe modal (a classe com maior frequência).
  • Das frequências dadas, a maior é 40, que corresponde à classe 1,70\mid1,80.
  • Logo, a classe modal é 1,70\mid1,80.

Passo 3

Apresentar a fórmula de Czuber e explicar cada símbolo (aula rápida e prática).
  • Para dados agrupados em classes, uma estimativa da moda pela fórmula de Czuber é dada por:
\text{Moda} \approx L + \frac{f_m - f_{-1}}{(f_m - f_{-1}) + (f_m - f_{+1})}\;h
  • Onde:
    • L é o limite inferior da classe modal (a menor estatura na classe modal).
    • f_m é a frequência absoluta da classe modal (a maior frequência).
    • f_{-1} é a frequência absoluta da classe anterior à modal.
    • f_{+1} é a frequência absoluta da classe seguinte à modal.
    • h é a amplitude (largura) da classe.
  • Intuição (sem jargão): a fórmula faz uma interpolação dentro da classe modal levando em conta se a frequência cai mais para a esquerda ou para a direita. Se a frequência anterior for quase igual à modal, a moda fica mais perto do limite inferior; se a frequência seguinte for mais próxima, a moda fica mais perto do limite superior.

Passo 4

Determinar os valores necessários a partir dos dados:
  • Classe modal: 1,70\mid1,80. Portanto L = 1,70.
  • Frequência da classe modal: f_m = 40.
  • Frequência da classe anterior: f_{-1} = 30 (classe 1,60\mid1,70).
  • Frequência da classe seguinte: f_{+1} = 10 (classe 1,80\mid1,90).
  • Amplitude da classe: como as classes vão de 1,70 a 1,80, tem-se h = 1,80-1,70 = 0,10. Escrever em notação do enunciado: h=0,10.
Calcular as diferenças que aparecem na fórmula:
f_m - f_{-1} = 40 - 30 = 10
f_m - f_{+1} = 40 - 10 = 30

Passo 5

Aplicar a fórmula de Czuber passo a passo (contas detalhadas para fazer na prova sem calculadora):
\text{Moda} \approx L + \frac{f_m - f_{-1}}{(f_m - f_{-1}) + (f_m - f_{+1})}\;h
Substituindo os valores:
\text{Moda} \approx 1,70 + \frac{10}{10 + 30}\cdot 0,10
Calcular a fração:
\frac{10}{10+30}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}=0,25
Multiplicar por h:
0,25\cdot 0,10 = 0,025
Somar ao limite inferior:
\text{Moda} \approx 1,70 + 0,025 = 1,725

Passo 6

Interpretação final e dica de prova:
  • A moda estimada é \,1,725 metros. Em provas, escreva claramente a unidade (metros) e mostre os f_m, f_{-1}, f_{+1} e h usados — isso facilita a correção.
  • Dica prática: sempre verifique a classe modal (maior frequência) e calcule h a partir dos limites das classes; depois aplique a fórmula exatamente como mostrado.

Resposta

\,1,725\\ \text{m}

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