Um pesquisador está avaliando a temperatura média (em ^{\circ} \mathrm{C} ) de operação de um microprocessador durante um teste de estresse. Ele coleta uma amostra de 7 medições obtendo os seguintes valores: [ 80.1,80.4,80.7,80.3,80.0,80.6,80.2 ] Assuma que a população segue uma distribuição aproximadamente normal. O desvio padrão não é conhecido e deve ser extraído a partir da amostra.
Determine o intervalo de confiança bilateral de 95 \% para a temperatura média real do microprocessador, utilizando a distribuição t de Student.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=7 medidas da temperatura (em {}^{\circ}\mathrm{C}):
\;[80,1,\;80,4,\;80,7,\;80,3,\;80,0,\;80,6,\;80,2].
Pede-se: determinar o intervalo de confiança bilateral de 95\% para a média populacional verdadeira, assumindo distribuição aproximadamente normal e desvio padrão populacional desconhecido (logo usar a distribuição t de Student).

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}.
A soma das observações é
\sum_{i=1}^{7} x_i = 80,1+80,4+80,7+80,3+80,0+80,6+80,2 = 562,3.
Logo a média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{562,3}{7}=80,328571\ldots
Arredondando convenientemente,
\bar{x}\approx 80,3286\;{}^{\circ}\mathrm{C}.
Explicação (rápida e necessária): a média amostral \bar{x} é o estimador natural da média populacional. É a soma das observações dividida pelo número de observações.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral s (estimador de \sigma).
Fórmula do desvio-padrão amostral (amostra simples, sem viés no denominador):
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}, \qquad s=\sqrt{s^{2}}.
Aqui:
  • n é o tamanho da amostra ( n=7);
  • x_i são as observações;
  • \bar{x} é a média amostral calculada no passo anterior.
Agora calculamos cada quadrado da diferença (x_i-\bar{x})^{2} (mostrando valores com algumas casas relevantes):
\begin{aligned} (80,1-\bar{x})^{2}&\approx(-0,228571)^{2}=0,0522449,\\\ (80,4-\bar{x})^{2}&\approx(0,071429)^{2}=0,0051020,\\\ (80,7-\bar{x})^{2}&\approx(0,371429)^{2}=0,1379612,\\\ (80,3-\bar{x})^{2}&\approx(-0,028571)^{2}=0,0008163,\\\ (80,0-\bar{x})^{2}&\approx(-0,328571)^{2}=0,1079522,\\\ (80,6-\bar{x})^{2}&\approx(0,271429)^{2}=0,0736722,\\\ (80,2-\bar{x})^{2}&\approx(-0,128571)^{2}=0,0165306. \end{aligned}
Somando essas parcelas:
\sum_{i=1}^{7}(x_i-\bar{x})^{2}\approx 0,3942796.
Agora a variância amostral:
s^{2}=\frac{0,3942796}{n-1}=\frac{0,3942796}{6}\approx 0,0657133.
E o desvio-padrão amostral:
s=\sqrt{0,0657133}\approx 0,2563\;{}^{\circ}\mathrm{C}.
Explicação didática: usamos n-1 no denominador para corrigir o viés da estimativa da variância quando usamos a média amostral no lugar da média populacional (graus de liberdade).

Passo 4

Escrever a fórmula do intervalo de confiança bilateral de nível 1-\alpha usando t-Student.
Quando a variância populacional é desconhecida e a população é (aprox.) normal, o intervalo de confiança bilateral para a média \mu é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,\nu}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral;
  • s é o desvio-padrão amostral;
  • n é o tamanho da amostra;
  • \nu=n-1 são os graus de liberdade;
  • t_{1-\alpha/2,\,\nu} é o quantil da distribuição t com \nu graus de liberdade tal que a área à direita é \alpha/2.
No nosso caso: nível de confiança 95\%\Rightarrow \alpha=0,05, \nu=7-1=6. Portanto precisamos de t_{0,975,6} (quantil superior com área 0,025 à direita).
Consultando a tabela t ou uma fonte confiável, obtemos
t_{0,975,6}\approx 2,4469.
Comentário: esse valor é lido na linha de \nu=6 e coluna 0{,}025 (ou 0{,}975 para o quantil superior).

Passo 5

Calcular o erro padrão da média (standard error) e a margem de erro.
O erro padrão da média é
\mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,2563}{\sqrt{7}}.
Como \sqrt{7}\approx 2,645751, então
\mathrm{SE}\approx \frac{0,2563}{2,645751}\approx 0,0969\;{}^{\circ}\mathrm{C}.
A margem de erro é
\mathrm{ME}=t_{0,975,6}\cdot\mathrm{SE}\approx 2,4469\times 0,0969\approx 0,2370\;{}^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular os limites do intervalo de confiança e apresentar o resultado final.
Os limites são
\bar{x}-\mathrm{ME}\quad\text{e}\quad \bar{x}+\mathrm{ME}.
Substituindo valores:
80,3286-0,2370\approx 80,0916, \qquad 80,3286+0,2370\approx 80,5656.
Interpretando: com 95\% de confiança, o verdadeiro valor da média de operação do microprocessador está entre aproximadamente 80,0916\;{}^{\circ}\mathrm{C} e 80,5656\;{}^{\circ}\mathrm{C}.
Pequena motivação final: a amplitude do intervalo é pequena porque as medidas são muito próximas entre si (pequeno s) e, mesmo com n=7, o erro padrão ficou baixo — então há boa precisão na estimação média, mesmo com amostra pequena.

Resposta

\quad(80,0916\;{}^{\circ}\mathrm{C},\;80,5656\;{}^{\circ}\mathrm{C})

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