Um pesquisador está avaliando a temperatura média (em
) de operação de um microprocessador durante um teste de estresse. Ele coleta uma amostra de 7 medições obtendo os seguintes valores: [
] Assuma que a população segue uma distribuição aproximadamente normal. O desvio padrão não é conhecido e deve ser extraído a partir da amostra.
Determine o intervalo de confiança bilateral de
para a temperatura média real do microprocessador, utilizando a distribuição t de Student.
Determine o intervalo de confiança bilateral de
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de
medidas da temperatura (em
):
.
Pede-se: determinar o intervalo de confiança bilateral de para a média populacional verdadeira, assumindo distribuição aproximadamente normal e desvio padrão populacional desconhecido (logo usar a distribuição
de Student).
Pede-se: determinar o intervalo de confiança bilateral de
Passo 2
Calcular a média amostral
.
A soma das observações é
Logo a média amostral é
Arredondando convenientemente,
Explicação (rápida e necessária): a média amostral
é o estimador natural da média populacional. É a soma das observações dividida pelo número de observações.
Passo 3
Calcular o desvio-padrão amostral
(estimador de
).
Fórmula do desvio-padrão amostral (amostra simples, sem viés no denominador):
Aqui:
-
é o tamanho da amostra ( ); -
são as observações; -
é a média amostral calculada no passo anterior.
Agora calculamos cada quadrado da diferença
(mostrando valores com algumas casas relevantes):
Somando essas parcelas:
Agora a variância amostral:
E o desvio-padrão amostral:
Explicação didática: usamos
no denominador para corrigir o viés da estimativa da variância quando usamos a média amostral no lugar da média populacional (graus de liberdade).
Passo 4
Escrever a fórmula do intervalo de confiança bilateral de nível
usando
-Student.
Quando a variância populacional é desconhecida e a população é (aprox.) normal, o intervalo de confiança bilateral para a média
é
onde:
-
é a média amostral; -
é o desvio-padrão amostral; -
é o tamanho da amostra; -
são os graus de liberdade; -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade tal que a área à direita é .
No nosso caso: nível de confiança
,
. Portanto precisamos de
(quantil superior com área
à direita).
Consultando a tabela
ou uma fonte confiável, obtemos
Comentário: esse valor é lido na linha de
e coluna
(ou
para o quantil superior).
Passo 5
Calcular o erro padrão da média (standard error) e a margem de erro.
O erro padrão da média é
Como
, então
A margem de erro é
Passo 6
Calcular os limites do intervalo de confiança e apresentar o resultado final.
Os limites são
Substituindo valores:
Interpretando: com
de confiança, o verdadeiro valor da média de operação do microprocessador está entre aproximadamente
e
.
Pequena motivação final: a amplitude do intervalo é pequena porque as medidas são muito próximas entre si (pequeno
) e, mesmo com
, o erro padrão ficou baixo — então há boa precisão na estimação média, mesmo com amostra pequena.